有趣的斐波那契数列例子.doc

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1、斐波那契数列斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(LiberAbacci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。　　斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……　　这个数列从第三项开始，每一项都等

2、于前两项之和。  斐波那契数列通项公式通项公式　　(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）　　注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导　　斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……　　如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：　　F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2)，　　显然这是一个线性递推数列。　　方法一：利用特征方程（线性代数解法）　　线性递推数列的特征方程为：　　X^2=X+1　　解得　　X1=(1+√5)/2,，X2=(1-

3、√5)/2。　　则F(n)=C1*X1^n+C2*X2^n。　　∵F(1)=F(2)=1。　　∴C1*X1+C2*X2。　　C1*X1^2+C2*X2^2。　　解得C1=1/√5，C2=-1/√5。　　∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1)-[(1-√5)/2]^(n+1)}（√5表示根号5）。　　方法二：待定系数法构造等比数列1（初等待数解法）　　设常数r，s。　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。　　则r+s=1，-rs=1。　　n≥3时，有。　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。　　F(n

4、-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。　　……　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。　　联立以上n-2个式子，得：　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。　　∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。　　上式可化简得：　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。　　那么：　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*F(n-2)。　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r

5、^2*s^(n-3)+r^3*F(n-3)。　　……　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)*F(1)。　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)。　　（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)。　　=(s^n-r^n)/(s-r)。　　r+s=1，-rs=1的一解为s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。　　则F(n)=(1/√5)*{[(

6、1+√5)/2]^(n+1)-[(1-√5)/2]^(n+1)}。　　方法三：待定系数法构造等比数列2（初等待数解法）　　已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式。　　解:设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))。　　得α+β=1。　　αβ=-1。　　构造方程x^2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2。　　所以。　　an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2

7、)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。　　an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。　　由式1,式2,可得。　　an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。　　an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a