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《应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 7-3.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七章第三节一、二元函数的极值二、二元函数的最值二元函数的极值与最值一、二元函数的极值定义1:设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义,则称函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值(极小值)f(x0,y0),函数的极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.如果对于该邻域内异于点P0(x0,y0)的任何点(x,y),都有(或点(x0,y0)称为函数f(x,y)的极大值点(极小值点).1、二元函数极值的定义例如:在点(0,0)有极小值0;在点(0,0)有极大值0;在点(0,0)无极值.例如,定理1(必要条件)设函数z=
2、f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但该点不是函数的极值点.且在该点处取得极值,则必有导数都存在,同时成立的点(x0,y0)称为仿照一元函数，使与函数f(x,y)的驻点.注意：2、极值的判定与求法时,具有极值定理2(充分条件)某邻域内有连续的一阶及二阶偏导数,记1)当A<0时有极大值A>0时有极小值2)当3)当时,没有极值;时,可能有极值,设函数且(x0,y0)是函数即的驻点,则f(x,y)在点(x0,y0)是否取得极值的条件如下:也可能没有极值,需另作讨论.求二元函数z=f(x,y)极值的求法第一步求驻点.得所有驻
3、点.第二步求二阶偏导.一驻点(x0,y0),分别求出二阶偏导数的值A、B和C.定出B2-AC的符号,按定理2的结论判定f(x0,y0)解方程组求出二阶偏导数第三步判别.是否是极值、是极大值还是极小值.将(x0,y0)代入,求出ABC,并对每第四步计算极值.例1.求函数解:求驻点得驻点:(3,2),(3,－2).在点(3,2)处不是极值;解方程组的极值.求二阶偏导数为极小值.在点(3,－2)处二、二元函数的最值函数f(x,y)在闭区域上连续函数f(x,y)在闭区域上取得最值f(x,y)的可能最值点区域内的驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个
4、极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据设函数f(x,y)在D上连续、D内可微分且只有有限个则有驻点,求二元函数最大值和最小值的一般方法:先求出函数在有界闭区域内的所有驻点处的函数值及函数在该区域边界上的最大值和最小值,然后比较这些函数值的大小,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值.在通常遇到的实际问题中,根据问题的性质,往往可以判定函数的最大值或最小值一定在区域内部取得.此时,如果函数在区域内只有唯一的驻点,那么就可以断定该驻点处的函数值,就是函数在该区域上的最大值或最小值.例2.解:设箱子的长、宽、高分别为x、y、z(m),于是箱子所用材料的表面
5、积为令得驻点要做一个容积为8m3的有盖长方体箱子,问箱子各根据实际问题可知S的最小值在定义域内存在,边的尺寸多大时，所用材料最省?因此可断定此唯一驻点(2,2)就是最小值点.即当长、宽均为2m高为m时,箱子所用材料最省.则高为例3.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面机动目录上页下页返回结束令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.机动目录上页下页返回结束内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件
6、在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.如对二元函数第二步判别•比较驻点及边界点上函数最值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)2.函数的最值问题作业
