应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 8-3.ppt

应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 8-3.ppt

ID:51981145

大小:368.00 KB

页数:24页

时间:2020-03-26

应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 8-3.ppt_第1页
应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 8-3.ppt_第2页
应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 8-3.ppt_第3页
应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 8-3.ppt_第4页
应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 8-3.ppt_第5页
资源描述:

《应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 8-3.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库

1、在第二节中,我们讨论了幂级数的收敛半径、收敛区间以及幂级数所确定的和函数的分析性质,下面我们介绍幂级数另一方面的问题,即如何把已知函数表示成某一幂级数,也就是函数幂级数的展开问题.第三节函数展开成幂级数8.3函数展开成幂级数8.3.1泰勒级数8.3.2常见的初等函数的幂级数展开式8.3.1泰勒级数如果函数在点的某邻域有阶连续导数,存在阶导数,则函数在点的邻域内有成立.其中。介于与之间,称为函数的泰勒公式余项.称为函数在点的次泰勒多项式.如果函数在点存在任意阶导数,则的泰勒多项式的项就可以无限地写下去

2、,即有这种结构的幂级数是由泰勒多项式演变而来,我们给它一个专有名称,定义如下:定义1如果函数点存在任意阶导数,则称幂级数为函数在点的泰勒级数,或称为泰勒系数.任何一个函数,只要在点存在任意阶导数,那么它在点的泰勒级数就一定存在,但是函数在的泰勒级数是否收敛呢?如果收敛的话,其和函数是否就是呢?先观察下例:例1函数在点处的任意阶导数都存在,且都等于0.即有:所以在点的泰勒级数为:显然它在上收敛于和函数,因此函数在点的泰勒级数的和函数并不等于.现在的问题是,在什么条件下,函数的泰勒级数才能收敛于函数本身

3、呢?下面的定理给出了这个问题的答案.定理1设函数在点的某邻域内具有任意阶导数,那么在区间内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件为:对一切满足不等式的,有。这里是函数在点的泰勒公式余项.定义2如果在的某邻域内,的泰勒级数的和函数就等于,则称函数在的这一邻域内可以展开成泰勒级数,并称等式的右边为在点的泰勒展开式,或称为幂级数展开式.在实际应用中,主要讨论函数在处的泰勒展开式:称之为麦克劳林级数,或称为麦克劳林展开式.8.3.2、常见的初等函数的幂级数展开式例2将展开成麦克劳林级数。解因为在点处存在任意阶导

4、数,且的拉格朗日型余项为从而有,它对任何实数,都有,因而有于是即有例3将展开成麦克劳林级数。解因为,由于的拉格朗日型余项于是所以在上能展成麦克劳林级数即同理可求得:通过上述三个例题的解题过程我们感觉到,将函数展成幂级数存在两个方面的困难:一方面是要求出的各阶导数,并求出的值,另一方面是要求出余项,并且要判定的极限是否为零.一般来说这两个方面都是比较困难的,上述这种直接从定义出发求函数幂级数展开式的方法,称之为“直接展开法”,在高等数学中,只有少数比较简单的函数才可以采用这种“直接展开法”.更多的情况

5、是从已知的函数的展开式出发,通过变量代换、四则运算或者逐项求导、逐项求积等方法来求得函数的幂级数展开式,这一类求函数幂级数展开式的方法,通常称之为“间接展开法”.下面举例说明怎样用“间接展开法”求函数幂级数展开式.例4求函数的麦克劳林级数。解:因为又因为所以有例5将展开成麦克劳林级数。解:因为又因为从而有对上式从0到逐项求积分,得例6将展开成麦克劳林级数。解:由于所以有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。