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《应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 7-2.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、偏导数的概念及计算二、全微分第二节多元函数的微分学第七章定义1.在点存在,的某邻域内则称此极限为如果极限设函数一、偏导数的概念及计算有定义,当y固定在y0,而x在x0处有增量Δx时,相应地函数有增量函数在点处对x的偏导数记作即同样可定义对y的偏导数记作如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处都存在对x的偏导数,则这个偏导数仍是x,y的函数,称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数,记作或类似地,可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数,记作或常把偏导函数简称为偏导数，定义
2、式分别为偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.2、偏导数的计算求z=f(x,y)的偏导数,并不需要新的方法,求时,只要把y暂时看作常量而对x求导数；求时,只要把x暂时看作常量而对y求导数.作固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题.因为这里只有一个自变量在变动,另一个自变量是看多元函数求偏导形同一元无技巧例1.设解求及为求把y看作常量,对x求导数,得把x看作常量,对y求导数,得例2.设(2)证(2)证明(1)求偏导数;(1)解例3.设解求偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程为求证:证:说明:(
3、R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,3、二阶偏导数定义2设z=f(x,y)在区域D内有偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:其中称为二阶混合偏导数.类似地,可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.又称为函数z=f(x,y)的一阶偏导数.例5.设解求它的二阶偏导数.总是相等?定理.也就是说，如果函数z=f(x,y)在区域D上的二阶混合偏导数连续,则在该区域上必有件下与求偏导的次
4、序无关.二元函数的二阶混合偏导数在连续条例6.验证函数解:满足方程所以内容小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)多元函数求偏导形同一元无技巧作业第七章2、全微分在近似计算中的应用应用一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容:1、全微分的概念二、全微分1、全微分的概念定义3:设二元函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有可
5、表示为其中A,B与x,y无关,而仅与x,y有关，称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微分,如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量记作dz,即全增量：定义,函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续即若函数z=f(x,y)在区域D内各点都可微分,则称该函数在区域D内可微分.（2）若函数z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内有连续的偏导数记dx=x,dy=y,所以全微分又可写成则z=f(x,y)在点(x,
6、y)处可微可以证明，（1）若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数必存在,且有类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数u=f(x,y,z)的全微分为,例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:机动目录上页下页返回结束例3.求的全微分.解:可知当2、全微分在近似计算中的应用由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)由得例3.计算的近似值.解:设,则取则内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可偏导函数可微偏导数连续函数连续3
7、.微分应用•近似计算作业
