应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 3.3.ppt

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1、3.3函数的极值与最值3.3.1极值的定义3.3.2极值的计算方法3.3.3函数最值的计算方法3.3.1极值的定义一、定义二、定理一、定义设函数在点的某领域内有定义，若对该领域内任意一点，恒有(或）则称为函数的极大值（或极小值），称为函数的极大值点（或极小值点）.极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点。定义1注意：函数的极值是局部性概念.如果是函数的一个极大值，那只是就附近一个局部范围来说的，比附近的都大，但在的整个定义域上，不一定比所有的都大，即不一定是最大值.关于极小值也类似.图3－10在图3—10中函数有两个极

2、大值两个极小值,极小值比极大值还大，就整个区间来说，只有一个极大值是最大值，只有一个极小值是最小值.从图中还可以看到，在函数取得极值处，曲线的切线是水平的或是不存在的，即斜率为0或斜率不存在；但曲线上有水平切线的地方，函数不一定在此取得极值.在处，曲线有水平切线，但不是极值.（必要条件)设函数在处可导，且在处取得极限，那么.使导数为零的点（即方程的实根）叫做函数的驻点或稳定点。注：1、由定理1可知，可导函数的极值点必定是它的驻点.但反过来，函数的驻点却不一定是极值点.例如：而却不是这个函数的极值点.所以，函数的驻点只是可能的极值点.因此，当我们求

3、出函数的驻点后，还需要判断求得的驻点是不是极值点，是极大值点还是极小值点。2、定理1要求“函数在处可导”，如果“函数在处不可导”，则可能是极值点也可能不是极值点.如图3—1中点是极值点，点不是极值点.定理二、定理因此，在没有可导条件下极值存在的必要条件修改为：设函数在处连续，如果极值点，是那么或不存在.驻点及导数不存在的点称为可疑的极值点.下面给出两个判定极值的判别法来判别在可疑极值点是否取到极值，并由此得极值的计算方法.3.3.2极值的计算方法一、定理和算法的引出二、案例三、进一步练习(第一充分条件)设函数在处连续，且在的某去心邻域内可导，又或

4、不存在.（1）若当的该邻域内左侧取值时，在当在的该邻域内右侧取值时，，则函数在处取得极大值；（2）若当在的该邻域内左侧取值时，，当在的该邻域内右侧取值时，，则函数在处取得极小值；（3）若当在的该邻域内左右侧取值时，的符号保持不变，则函数在处没有极值.定理2一、定理和算法的引出根据定理2，可得下列求函数极值点和相应的极值的方法：(1)求函数的定义域D;（2）求出导数（3）求出函数的可疑极值点；（4）用定理2判断（3）中的每个点是否是极值点；（5）求出各极值点处的函数值，就得到函数的全部极值.（第二充分条件)设函数在处具有二阶导数且，，那么在⑴当时，

5、函数处取得极大值；⑵当时，函数在处取得极小值.注意：如果函数在驻点处的二阶导数为零，则极值存在的第二充分条件失效，这种情况必须改用第一充分条件判断.当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下述定理来判定在驻点处取得极大值还是极小值.定理3案例1求函数的极值.解该函数的定义域为令，得驻点，于是，列表如下：二、案例有极小值1+0-0+0+↑有极大值0↓↑无极值↓案例2求函数的单调区间和极值.解函数的定义域为，令，得，显然不存在，于是，列表如下：-11+不存在-0+↑有极大值0↓有极小值↑案例3求函数的极值.解令，求得驻点又因故在处取得极大值

6、，极大值为在处取得极小值，极小值为.三、进一步练习求函数的极值.]练习1[解该函数的定义域为令,得驻点于是，列表如下：-11＋0＋0－0＋无极值0极大值极小值0练习2[求函数的极值.]解该函数的定义域为所以函数在点处导数不存在于是列表如下：0－0＋极小值0练习3[求函数的极值点和极值.]解该函数的定义域为令，得两个驻点：由极值存在的第二充分条件可知，是函数的极大点，极大值为是函数的极小点，极小值为3.3.3函数最值的计算方法一、定理和算法的引出二、案例三、进一步练习在生产和科学中会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”、“用料最省”、

7、“成本最低”、“效率最高”等问题，这类问题在数学上就是求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.函数在一个区间上的最大值和最小值统称为最值.一、定理和算法的引出最值1、求在闭区间上连续函数最大值与最小值的方法有限个点外可导，且至多有有限个驻点.在上述条件下，我设函数在闭区间上连续，在开区间内除们来讨论在上的最大值和最小值的求法.首先，由闭区间上连续函数的性质，可知在上的最大值和最小值一定存在.其次，最大值点与最小值点或是极值点，或是区间的端点.因此，只需算出极值点与区间端点对应的函数值加以比较，就可以求出函数的最大值与最小值.为了免除判

8、定极值点的麻烦，可以直接将驻点与导数不存在的点的对应函数值参与比较.求在上的最大值和最小值的方法可归纳为：(1)求出在内的驻点及一阶导数