应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 2-3.ppt

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1、2.3微分2.3.1微分的概念2.3.2微分的基本公式与运算法则2.3.3微分在近似计算中的应用2.3.1微分的概念一、案例二、概念和公式的引出三、进一步的练习一块正方形的金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到时(图2-3)，求薄片的面积改变了多少?设正方形边长为为则此时薄片受温度变化的影响时面积的改在取得函数的相应，即变量可看作是当自变量改变量，增量，面积，时，一、案例，它由两部分所组成，第一部分如图所示，阴影部分表示，时，的线性函数，当它是它是的同阶无穷小，是部分，第二部分的主要，当时，它是较的高阶无穷小．很明显，当很小时，在中所起的作用很微小，可以忽略不计，因此而，因此上式可改写为

2、下面我们说明上式所表示的关系对一般可导函数也是成立的．在点处可导，即根据函数、函数极限与无穷小的关系，上式可写成.其中，当时，．由此得设函数，.上式表明，函数的改变量是由和两项所组成，当时，由可得是的同阶无穷小，是较的无穷小．高阶由上可知，当时，在函数的改变量中起主要作用的是，它与一个较高阶的无穷小．因此，是的主要部分；又由于是所以通常称为的线性主部．当很小时，可用函数改变量的线性主部来近似地．的差是的线性函数，代替函数的改变量，即二、概念和公式的引出定义设函数在点处可导，则称为函数在点处的微分，记为或即或．若不特别指明哪一点的微分，则一般记为或．若令，则，即．这就是说，自变量，的微

3、分就是它的改变量因此，微分表达式中可用代替，,即由上式还可看出，，的导数等于函数的微分与自变量的微分数又称微商．即函数的商，因此，导定义三、进一步练习例1求函数在时的和解：，而．所以当时，因为例2求下列函数的微分：解：2.3.2微分基本公式与运算法则一、概念和公式的引出二、进一步的练习由函数微分的定义微分即可，因此，微分的基本公式和运算法则可由导数的基本公式和运算法则直接推出．可以知道，要计算函数的微分，只须求出函数的导数，再乘以自变量的一、概念和公式的引出法则1．微分的基本公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1．微分的基本公式(9)(10)(11)(12)(13)(1

4、4)2．函数和、差、积、商的微分法则设和都是可导函数，为常数，则(1)(2)(3)(4)(5)3．复合函数的微分法则设函数是由则复合函数的微分为由于，因此复合函数公式也可写为复合而成的,，的微分这个公式与在形式上完全一样，所含是中间变量或是自变量，的微分都可用表示，此性质称为微分的内容却广泛得多，即无论形式不变性．例3利用微分形式不变性，求下列函数的微分：（2）解：(1)(2)(1)二、进一步练习例4在下列等式的括号里填入适当的函数，使等式成立（1）（2）解：(1)因为，于是即，一般地有（c为任意常数)．，于是一般地有(2)因为（c为任意常数)．即2.3.3微分在近似计算中的应用一、概念和

5、公式的引出二、进一步的练习由前面的讨论知道，当很小时，函数在点处的改变量可用函数的来代替，即由(1)得公式(1)常用来计算函数改变量的近似值，在点附近的近似值．微分(1)(2)而公式(2)常用来计算函数一、概念和公式的引出说明例5半径为10厘米的金属圆片加热后，半径伸长0.05厘米，问面积约增大了多少?,半径为厘米，厘米，,所以即面积增长了（平方厘米）解：设圆面积为于是平方厘米。二、进一步练习例6计算的近似值．，则由于，故此处应取因为比较小，将这些数据代入公式（2）可得即解：设．在公式(2)中，令时，得(3)当很小时，可用公式(3)求函数在附近的近似值．应用公式(3)，当很小时，有如下常见近

6、似公式例7求下列各函数值的近似值：解：(1)应用近似公式(其中)，(2)应用近似公式，得得(1)(1)例8一机械挂钟的钟摆的周期为1s，在冬季，摆长因热胀冷缩而缩短了0.01cm，已知单摆的周期为,其中，问这只钟每秒大约快或,解之得，摆长的改变量为，用近似计算，则慢多少?解：因为钟摆的周期为1s,所以有摆的原长为把，代入上式得上述结果说明由于摆长缩短了0.01cm，钟摆的周期相应地减慢了约