应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 沈跃云课件 第四章课件.ppt

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1、数学课件应用高等数学制作人马怀远本章重点:1、微分方程的概念；2、可分离变量的微分方程的解法；3、一阶线性微分方程的公式解法；4、二阶常系数齐次线性微分方程的解法。第四章常微分方程§4.1可分离变量的微分方程一、微分方程的概念设曲线上任一点的切线斜率为且曲线过点，求曲线的方程．由导数的几何意义，在点处有或上式两边积分，得，其中C为任意常数．由于曲线通过点，代入,得于是所求曲线的方程为例1解例2垂直上抛，设此物体运动只受重力的函数关系式．的影响，试确定该物体运动的速度与时间解，根据导数的意义，函数应满足关系式上式两边积分

2、得．依题意有，故．从而．上面两个例子中的方程,都含有未知函数的导数（或微分），它们都称为微分方程．未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数为这个方程的阶．未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．一物体以初速度设所求的函数如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解．如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，那么这样的解称为微分方程的通解．在通解中若使任意常数取某一定值，或利用附加条件确定任意常数应取的值，这样所得的

3、解称为微分方程的特解．确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件．二、可分离变量的微分方程形如的方程，可变形为称为可分离变量的微分方程．可分离变量微分方程的求解步骤为：（1）分离变量；（2）两边积分；（3）求出积分得通解，其中分别是的原函数；（4）若方程给出初始条件，则根据初始条件确定常数，例3．解．等号两端积分，得．于是此微分方程的通解为．解微分方程微分方程化为例4．解．等号两端积分，得，即．容易验证常数函数也是微分方程的解．常数函数可以看作是函数族对应的那一个函数．于是此微分方程的通解为．例5满足初始条件的特解．解．

4、解微分方程微分方程化为解微分方程微分方程化为等号两端积分，得，即．容易验证常数函数也是微分方程的解.于是此微分方程的通解为．把初始条件代入通解，得．所以微分方程的特解为．例6满足初始条件的特解．解．等号两端积分，得．解微分方程微分方程化为于是此微分方程的通解为．把初始条件代入通解，得，所以微分方程的特解为．§4.2一阶线性微分方程形如的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中和都是的连续函数．当时，方程称为一阶齐次线性微分方程；当时，方程称为一阶非齐次线性微分方程．一阶非齐次线性微分方程的解法．设的一个原函数为，则．如果设

5、，则即．,所以，从而，即．这就是一阶非齐次线性微分方程的通解．当时，公式变为，它是一阶齐次线性微分方程的通解．这里包含在通解公式中的不定积分仅表示一个原函数，不包含积分常数．按以下步骤求出一阶线性微分方程的通解．(1)将方程化为一阶线性线性微分方程的标准形式；(2)写出；(3)套用公式，计算.例1．解，所以通解为例2．解，所以通解为应用不定积分分部积分法则，得解微分方程注意到解微分方程注意到例3．解原方程改写为：注意到，所以通解为例4满足初始条件的特解．解，所以通解为解微分方程求微分方程注意到，将初始条件代入到通解表达

6、式中，得，于是．所以该微分方程的特解为．§4.3二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程1．基本原理形如的二阶微分方程称为二阶常、为常数，称为该方程的系数齐次线性微分方程．其中系数．该方程的解满足下面的定理：定理4.1（叠加原理）如果函数与是方程的两个解那么也是该方程的解其中、是任意常数．定理4.2（通解结构）如果函数与是方程的两个特解且常数，那么是该方程的通解，其中、是任意常数．2、基本解法方程叫做微分方程的特征方程.特征方程的两个根、可用公式求出．(1)特征方程有两个不相等的实根、时方程的通解为

7、．(2)特征方程有两个相等的实根时方程的通.解为(3)特征方程有一对共轭复根时方程的通解为求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤为：（1）写出微分方程的特征方程；（2）求出特征方程的两个根、；、（3）根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解.特征方程的根方程的通解相异实根相等实根共轭复数根例1的通解．解即．其根是两个不相等的实根因此所求通解为求微分方程特征方程为例2求方程满足初始条件、所给方程的特征方程为解即．其根是两个相等的实根因此微分方程的通解为将条件代入通解得从而将上式对求导得再把

8、条件代入上式得．于是所求特解为．例3所给方程的特征方程为解．特征方程的根为是一对共轭复根，因此所求通解为．二、二阶常系数非齐次线性微分方程形如的二阶微分方程、为常数．称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其中方程叫做与非齐次方程对应的齐次方程．定理4.3（通解结构）设是二阶非齐次线性方程的一个特解是对应的齐次方程的通解，那么求微