应用高等数学 教学课件 ppt 作者 胡桐春ppt 2.1导数的概念.ppt

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1、第2章导数、微分及其应用微积分学的创始人:德国数学家Leibniz(1646–1716)微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家Fermat在研究极值问题中提出.英国数学家Newton(1642–1727)费马(Fermat,P.1601-1665,法国)导数的概念§2-1一、变化率问题举例二、导数的定义五、导数的意义四、可导与连续的关系三、根据定义求导数举例我们知道，当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的。假

2、设t秒后运动员相对地面的高度为：问：在2秒时刻运动员的速度（瞬时速度）为多少？该运动员在2秒到2.1秒（记为[2，2.1]）的平均速度为同样，可以计算出[2，2.01]，[2，2.001]，…的平均速度，也可以计算出[1.99，2]，[1.999，2]，…的平均速度。一、变化率问题举例分析：时间/s间隔/s平均速度/(m/s)[2，2.1]0.1-13.59[2，2.01]0.01-13.149[2，2.001]0.001-13.1049[2，2.0001]0.0001-13.10049[2，2.00001]0.00001-13

3、.100049………………时间/s间隔/s平均速度/(m/s)[1.9,2]0.1-12.61[1.99,2]0.01-13.051[1.999,2]0.001-13.0951[1.9999,2]0.0001-13.09951[1.99999,2]0.00001-13.099951………………这一常数就可作为该运动员在2秒时刻的速度。由此可以看出：当时间间隔越来越小时，平均速度趋于一个常数，通过对平均速度取极限就可以得到瞬时速度。下面是两个关于导数的经典例子.设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。从t0变到t0＋t，物体

4、在t时间内的平均速度为就是物体在t0时刻的瞬时速度，即`v可作为物体在t0时刻的速度的近似值，t越小，近似的程度就越好。所以当t0时，极限1.变速直线运动的速度2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极

5、限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放此时割线M0M的斜率趋向于切线M0T的斜率：求曲线y=f(x)在点M0(x0,y0)处的切线的斜率。在曲线上另取一点M(x0+x,y0+y)，当点M沿着曲线无限接近于点M0，即Δx→0时，如果割线M0M的极限位置M0T存在，那么直线M0T就是曲线在点M0处的切线.TM0Mx0x0+xyOxNCxyy=f(x)瞬时速度切线斜率函数增量与自变量增量之比，当自变量增量趋近于零时的极限.上述两实际问题意义不同，但数学结构完全相

6、同：平均变化率（瞬时）变化率存在则称函数f(x)在点x0处可导设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义如果上述极限不存在则称函数f(x)在点x0处不可导二、导数的定义如果极限f(x)在点x0处的导数记为f(x0)并称此极限值为函数即定义2.1当自变量x在x0处取得增量x时，函数有相应的增量y＝f(x+x0)-f(x0);比如，引例1中，瞬时速度引例2中，切线斜率导数的定义式:导数的其它符号：导数的其它定义式：导数的定义式:若记x=x0+x,当x0时,xx0,特别，取x0=0,且若f(0)=0,有

7、导数的定义式:导函数的定义如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数简称导数讨论:导函数的定义式如何写?f(x0)与f(x)是什么关系?记作导数的定义式:导函数的定义式：f(x0)与f(x)之间的关系：即函数f(x)在x0的导数值等于其导函数在x0的函数值.设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义。为f(x)在点x0处的左导数，记作f-(x0)。为f(x)在点x0处的右导数，记作f+(x0)。单侧导数左右导数的定义：导数与单侧导数的关系：函数在区

8、间上的可导性：函数f(x)在开区间(ab)内可导是指函数在(ab)内每一点可导函数f(x)在闭区间[ab]上可导是指函数f(x)在开区间(ab)内可导且在a点有右导数、在b点有左导数单侧导数由导数的定义，可以得到求导数的一般步骤:三、根据定义求导数