应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 6-5.ppt

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1、6·5二重积分案例研究案例6.5曲顶柱体的体积：如图是一个曲顶柱体，它的底是xOy面上的有界闭区域D，它的侧面是以区域D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是定义在D上的二元连续函数（这里假定）所表示的曲面.试计算它的体积V.分析求体积的方法：（1）分割：将区域D分成n个小闭区域…，(也表示这个小区域的面积),把大的曲顶柱体分成分别以…，为底的n个小曲顶柱体.（2）近似代替：在每个小区域上任取一点作乘积(i=1,2,…,n)，用它近似代替第个小曲顶柱体的体积.（3）求和：对上述n个体积的近似值求和，得到整个曲顶柱体体积的近似值，即（4）

2、求极限：为了求得V的精确值，令n个小区域的直径（区域的直径是指这个区域中任意两点的距离最大值）中的最大者（记作）趋于零，则上述和式的极限就是曲顶柱体的体积，即抽象归纳二重积分的概念定义设f（x,y）是定义在有界闭区域D上的连续函数，将闭区域D任意地分割成n个小区域其中（i=1,2,…,n）表示第i个小区域，也表示它的面积.在每个小区域上任取一点作和式若当各小区域的直径中的最大值趋于零时，和式的极限存在，则称此极限值为函数f（x,y）在闭区域D上的二重积分，记作即其中f（x,y）称为被积函数，称为被积表达式，f(x,y)称为面积元素，x与y称为积

3、分变量，D称为积分区域，称为积分和式.案例6.5中曲顶柱体的体积V可表示为几何意义：当f（x,y）≥0时，表示曲顶柱体的体积；表当f（x,y）≤0时，示曲顶柱体体积的负值；当在D的某些部分区域上为正，而在其他的部分区域上为负时，就等于各个部分区域上的曲顶柱体体积的代数和.二重积分的性质性质1有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.性质2被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即（k为常数）.性质3（可加性）若将闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则在D上的二重积分等于D1与D2上的二重积分的和，即性质4若在D上，为D的面积，则性

4、质5（中值定理）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点（ξ,）使得f（ξ,）·.在直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下，面积元为于是二重积分可写成将二重积分化为二次积分设积分区域D由两条直线及两条连续曲线所围成，这时区域D可用不等式来表示.根据二重积分的几何意义，二重积分的值等于以D为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积，即（1）另一方面，用过区间[a,b]上任意一点x且垂直于x轴的平面去截曲顶柱体得一截面，其面积是x的函数，记作根据定积分求面积的公式，可得根据定积分求体积公式，得曲顶柱体的体积为（2）由（1）

5、式和（2）式，得上式右边的积分叫做先对y，后对x的二次积分.也可简记为这就是把二重积分化为先对y，后对x的二次积分的公式.类似地，若积分区域D可以用不等式来表示:则有上式叫做先对x，后对y的二重积分.可简记为讨论：图中的区域怎样积分？例1计算二重积分其中D是由所围成的区域.解画出积分区域D.由于D可用不等式表示为它是X-型区域，因此，有问：可以先对x积分再对y积分吗？例2计算二重积分其中D是由y=x，y=2及双曲线xy=1所围成的区域.解画出积分区域D.由于D可用不等式表示为它是Y-型区域，因此，有讨论：上例中，若先对y，后对x积分，结果如何？小

6、结：1．二重积分的定义：2．二重积分的性质：性质1-性质53．二重积分的计算：