应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 4-1.ppt

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1、模块4不定积分4·1不定积分的概念4·2不定积分的基本公式与运算法则、直接积分法4·3不定积分的换元积分法与分部积分法4·1不定积分的概念案例研究案例4.1悬崖的高度：李明站在河边山崖的顶上问王英：“你能量出它的高度吗？”王英想了想，说：“要量它有困难，但我可算出它的高度！”说完，王英捡了一块石头：“你来计时，我把石头丢下去后，看它落到水面时花了多少时间.”李明在王英将石头丢出的瞬间开始计时，在第5秒时看到石头落到水面上.王英说：“因为我知道自由落体运动的加速度大约是10，所以现在我可以算出悬崖的高度了.”请问：王英是怎样计算的呢？分析设路

2、程函数为显然，若能求得路程函数的表达式，则可计算出悬崖的高度.·以前的问题：·相反的问题：（1）（2）抽象归纳原函数的概念定义设是定义在某区间上的已知函数，若存在一个函数对于该区间上的每一点x都满足则称函数在该区间上的一个原函数.例因为所以是的一个原函数．的原函数的原函数的原函数的原函数原函数具有下述性质：性质1若函数有原函数，则它就有无数多个原函数．证设函数是函数的一个原函数，即，并设C为任意常数．因为所以也是的原函数.又因为C为任意常数，即C可以取无数多个值，所以有无数多个原函数．性质2函数的任意两个原函数的差是一个常数．证设都是的原函

3、数，即于是根据导数恒为零的函数必为常数，可知（C为任意常数），即结论若是的一个原函数，则就有无数多个原函数，并且任意一个原函数都可以表示为（C为某常数）的形式.也就是说，（C为任意常数）就是函数的全部原函数不定积分的定义定义函数的全部原函数叫做的不定积分，记作其中“”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量.即其中C是任意常数，称为积分常数．注：“”是sum第一个字母S的拉长，下一模块中我们会知道，它表示求和的意思。例不定积分也简称为积分．把求不定积分的运算和方法分别称为积分运算和积分法．例1求下列不定积分：（1）（2）解（

4、1）因为所以（2）因为，所以例2用微分法验证等式：解因为所以不定积分的两条基本性质：（1）证设则将上式两边对x求导数，得又根据微分的定义，得（2）或证因为所以又根据微分的定义，得问：由以上两点，我们能发现什么？结论微分运算与积分运算是互逆的.若对一个函数先积分再微分，则两者的作用互相抵消.反过来，若先微分再积分，则抵消后只差一个常数.问：不定积分的几何意义是什么？例3已知某曲线经过点且其上任意一点处的切线的斜率等于2x，求此曲线的方程．解设则把代入中，得于是所求曲线的方程是几何解释：定义函数的一个原函数的图像叫做函数的积分曲线．结论不定积分

5、在几何上表示由积分曲线沿y轴上下平移而得到的一族曲线（称为积分曲线族）．案例4.1的解（1）因为所以是10的一个原函数.因此又当时，代入上式，得于是，所求速度函数为（2）因为所以是10t的一个原函数.因此又当时，代入上式，得于是，所求路程函数为将代入上式，得（m）.即悬崖的高度大约是125m.小结：（1）原函数的概念；（2）原函数的性质；（3）不定积分的定义；（4）不定积分的性质；（5）不定积分的几何意义。