应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 3-3.ppt

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1、3·3函数的极值与最值案例研究案例3.3.1易拉罐的设计：企业在设计易拉罐时，为了用最小的成本获得最大的利润，需要考虑在体积一定的情况下用料最省的问题.测量一个你身边的易拉罐，分析它的设计是否达到了企业的期望，如果没有达到，请你改进.案例3.3.2面包价格的确定：某职业院校为了培养学生的创业能力，鼓励毕业学年的学生在校园里开展各种营销活动.为了探索创业途径，学生蔡明利用业余时间在学院内的一家面包销售点打工.经过一段时间统计，他发现某种面包以每块2元的价格销售时，每天能卖掉500块；若价格每提高1角，每天就会少卖掉10块.另

2、外，面包点每天的固定开销为40元，每块面包的成本为1.5元.此后，蔡明决定独自经营该面包销售点.问：蔡明怎样确定面包的价格，才能使获得的利润最大？抽象归纳在生产实际中，往往遇到求在一定条件下怎样使材料最省，或成本最低，或投资最少，或效益最高等方面的问题.它们在数学上，都可以归结为求函数的最大值和最小值问题.函数的极值讨论：观察图中处函数值情况，它们有何特点？极值的定义设函数在区间（a，b）内有定义，是（a，b）内的一个点.若对于点左右近旁内的任何点x（），都有则称是函数的一个极大值，点叫做的一个极大值点；若对于点左右近旁内

3、的任何点x（），都有则称是函数的一个极小值，点叫做的一个极小值点.函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.极值的必要条件若函数在点可导，且在点取得极值，则函数在点的导数使函数的导数为零的点叫做函数的驻点（或稳定点）.讨论：可导函数的驻点一定是它的极值点吗？试举例说明.讨论：若函数在某点连续，但没有导数，函数在该点可以取极值吗？结论函数的极值只可能在驻点或导数不存在的点取得.问：极值存在的充分条件是什么？极值的第一充分条件设函数在点处连续，在点的左右近旁可导.极大值.（1）若当x取左侧邻近的值时，当x取

4、右侧邻近的值时，则函数在点取得极小值.（2）若当x取左侧邻近的值时，当x取右侧邻近的值时，则函数在点取得（3）若当x取左右两侧邻近的值时，不改变符号，则函数在点没有极值.证当x取左侧邻近的值时，根据函数单调性的判定法，函数在左侧邻近是单调增加的，所以当x取右侧邻近的值时，函数在右侧邻近是单调减少的，所以因此，是的一个极大值.类似地，可证明（2）和（3）.例1求函数的极值.解（1）求定义域：（2）求导：令得驻点（3）列表讨论：－2（－2，1）1+0－0+↗极大值21↘极小值－6↗例2求函数的极值.解（1）求定义域：（2）求导

5、：令得驻点（3）列表讨论：x－1（－1，0）0（0，1）1－0－0+0+↘↘极小值0↗↗例3求函数的极值.解（1）求定义域：（2）求导：令得驻点当时，导数不存在.（3）列表讨论：x0（0，1）1+不存在－0+↗极大值0↘↗极小值讨论：（1）若为极值，则的符号是正还是负？极值的第二充分条件在点处具有设函数二阶导数且（1）若则函数在处取得极小值.（2）若则函数在处取得极大值.讨论当且时，为极值吗？试举例说明.例4求函数在区间上的极值.解令得又函数的最大值和最小值讨论若函数在[a，b]上连续，则其最大值和最小值只能在何处取得？结

6、论只能在驻点、导数不存在的点和端点取得.求最值的步骤：（1）求函数的导数，并求出所有的驻点和导数不存在的点.（2）求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值.（3）比较上述各函数值的大小，其中最大的就是在闭区间[a，b]上的最大值，最小的就是最小值.例5求函数在闭区间上的最大值和最小值.解（1）求导数：令（2）求端点及各驻点的函数值：（3）比较：最大值最小值为讨论结合下图讨论：若函数在开区间（a，b）内只有惟一极大（小）值，是否该极大（小）值必是最大（小）值？案例3.3.1的解设易拉罐的底面圆半径为r，高为h，表面积为S，体

7、积为V（定值），则根据立体几何，得于是，得求导，得对S关于r求二阶导数，得因为所以S在点处取得极小值.又在区间函数只有惟一驻点，所以函数S在该点取得最小值.将代入中，得于是，得这就是说，当其底面圆半径与高之比为1:2时，用料最省.案例3.3.2的解设x为每天的销售价格，y为每天销售的块数，P为每天的利润.据题意，当时，于是，得解得每日的收入：每日的成本是：每日的利润是：将代入上式，得求导：求二阶导数：因为所以在x=4.25取得极大值.又在区间内只有惟一驻点，所以在点x=4.25处必取得最大值，且最大值为答：面包的价格定为4

8、.25元/块时，才能获得最大利润，且最大利润为716.25元.小结：1．极值的必要条件；2．极值的充分条件：（1）第一充分条件；（2）第二充分条件.3．函数的最值：（1）求最值的步骤；（2）应用题中求最值的方法.