应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 3-2.ppt

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1、3·2函数的增减性、曲线的凹性案例研究案例3.2抛体运动的路程与速度：假若在真空中，把一物体以初速度8m/s垂直向上抛出，试研究该物体的位移与速度、加速度的关系.分析设在t时刻物体的位移是s，则由物理学知其中取于是，在t时刻，物体的速度是加速度是位移函数的图像如图所示.问：位移的变化与速度、加速度有何关系？结论（1）物理角度：在区间内，是单调增加的，这时速度在区间内，是单调减少的，这时速度物体达到最高点时，位移最大，这时速度加速度即速度的变化率为负.问：曲线的性态与导数有何关系？结论（2）从几何角度：函数的图像是凸的，其上每一点的切线均在曲线的上方.在上升的曲线弧上切线

2、的倾斜角都是锐角，斜率为正，即导数在下降的曲线弧上切线的倾斜角都是钝角，斜率为负，即导数在顶点的切线的斜率为0，即导数二阶导数说明切线在凸曲线弧上从左至右转动时，斜率的变化率总为负.抽象归纳函数的单调性函数单调性的判别法设函数在区间上连续，在内可导，若在内,则函数在内单调增加；若在内,则函数在内单调减少．证在上任取两点在上应用拉格朗日中值定理，得单调减少单调增加例1讨论函数的单调性.解在内,在内,单调减少单调增加例2讨论函数的单调性.解（1）求定义域：（2）求导：当时导数不存在；（3）列表讨论：－0不存在+↘↗例3求函数的单调区间.解（1）求定义域：（2）求导：令（3）

3、列表讨论：x3+0－0+↗↘↗例4求函数的单调区间.解（1）求定义域：（2）求导：令得（3）列表讨论：0－0+↘↗例5设在t年时地球的石油总蕴藏量（包括未被发现的）为P（单位：桶），并假设没有新的石油产生，问的符号是正还是负？解设石油总蕴藏量P与时间的函数关系为因为没有新的石油产生，地球的石油是不可再生资源，随着对石油的消耗，其总量会越来越少，所以是一单调减少函数.所以，有即的符号为负.曲线的凹凸性与拐点观察图中曲线与切线的关系：定义设曲线弧的方程为且曲线弧上的每一点都有切线.若在某区间内，该曲线弧上任一点的切线都位于曲线弧的下方，则称曲线弧在该区间内是凹的；若该曲线弧

4、上任一点的切线都位于曲线弧的上方，则称曲线弧在该区间内是凸的.曲线凹凸性的判别法设函数在（a，b）内有二阶导数.（1）若在（a，b）内，则曲线在（a，b）内是凹的；（2）若在（a，b）内，则曲线在（a，b）内是凸的.例6判定曲线的凹凸性.解（1）求定义域：（2）求导：（3）讨论：当所以，曲线在内是凸的，在内是凹的.问：在上图中，点（0，0）是曲线什么点？定义连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点.判定：设函数在点处连续，在点的左右近旁具有二阶导数或不存在，（1）当在点的左右邻域内异号时，点就是曲线上的一个拐点；（2）当在点的左右邻域内同号时，点不是曲线的

5、拐点.例7求曲线的凹凸区间和拐点.解（1）求定义域：（2）求导：令x曲线（3）列表讨论：0（0，1）1+0－0+︶拐点（0，1）︵拐点（1，0）︶例8判断曲线是否有拐点？解（1）求定义域：（2）求导：令（3）讨论：当时，恒有即在点的左右近旁，的符号相同，因此点不是曲线的拐点.所以，曲线没有拐点.例9设P(t)为每日t时刻某公司的股票价格.如图，分别给出了某两天P(t)的曲线（称为走势曲线），试分别说明该天股票的走势.曲线为上升的凹曲线，因此说明该天的股票价格是单调上升的；说明上升的速度也是单调增加的，即上升的速度越来越快.曲线为上升的凸曲线，因此说明该天的股票价格是单调

6、上升的；说明上升的速度是单调减少的，即上升的速度越来越慢.小结：1．函数单调性的判定：（1）（2）2．曲线的凹凸与拐点：（1）凹凸的判定：口诀：“小凸”—“小兔”—“小兔子乖乖”（2）拐点：左右异号是拐点，左右同号不是拐点.单调增加单调减少