应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 1-2.ppt

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1、1·2函数的极限案例研究案例1.2.1水温的变化：一池的热水在温度为的自然环境里，水的温度将逐渐降低，随着时间的推移，水温会越来越接近自然温度我们把称为这池热水的极限温度.案例1.2.2函数值的变化：考察时，函数的变化趋势.结论：当时，函数案例1.2.3影子长度的变化：考察一个人沿直线走向路灯的正下方时其影子的长度.结论：当时，案例1.2.4函数值的变化：考察时，函数的变化趋势.结论：当时，抽象归纳极限的概念自变量趋于无穷大时函数的极限设函数在充分大时有定义，若当x的绝对值无限增大时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，则A叫做函数f(x)当时的极限，记作或

2、（当）.例：或自变量趋于无穷大时的单侧极限若当时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，则A叫做函数f(x)当时的极限，记作或或例：极限是零的变量，通常称为无穷小量（简称无穷小）.例：是当时的无穷小，也是时的无穷小.问：当时，下列变量中不是无穷小的是（）（A）（B）（C）（D）自变量趋于有限值时函数的极限设函数在点的左右近旁有定义.若当x无限接近于x0时，即（x不等于x0）时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，则A叫做函数f(x)当时的极限，记作或例：或自变量趋于有限值时的单侧极限若当时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，则A叫做函数f(x

3、)当时的左（右）极限，记作例：极限存在的充要条件函数在有极限的充要条件是左右极限都存在且相等.即例1考察极限和（C为常数）.解例2考察极限和解例3求函数当时的左右极限，并讨论极限是否存在.解右极限为因为所以极限不存在.例4考察极限和并说明当时，两个函数的变化性态.解由图知，当时，函数的绝对值无限制地增大.这时，我们称是当时的无穷大.记作还可以看出，当时，取负值且为无穷大；当时，取正值且为无穷大.这两种情况分别称为正无穷大和负无穷大，并分别记作问：说明了什么？定理在自变量的同一变化过程中，若是无穷大，则是无穷小；反之，若是无穷小，且则是无穷大.例5（1）考察极限：解观

4、察下表：0.50.10.050.010.958850.998330.999580.99998可以看到，（2）考察极限：解观察下表：x1001000100001000002.7052.7172.7182.71827可以看出，用e表示这个极限值：设则：极限的运算法则极限的四则运算法则若则（1）（2）（3）这就是说，在上述条件下，和差的极限等于极限的和差，积的极限等于极限的积，商的极限等于极限的商.上述法则还可推广到有限个函数的情形.若都存在，则有特别地，有这就是说，常数因子可以提到极限符号的外面.若存在，n为正整数，则这就是说，幂的极限等于极限的幂.例6求解例7求解例8

5、求解=2+3=5.例9求解所以，例10一个的电阻器与一个电阻为R的可变电阻并联，电路的总电阻为当可变电阻R这条支路断路时，电阻求这时电路的总电阻的极限值.解问：上述极限的物理意义是什么？例11当推出一种新的电子游戏程序时，在短期内销售量会迅速增加，然后开始下降，其函数关系为（t为月份）.若要对该产品的长期销售做出预测，试建立相应的表达式.解问：上述极限的经济意是什么？归纳：例12求解问：上述解法的关键是什么？（有理化）另解：设则且当时，于是，有问：上述解法的关键是什么?（换元）例13求：（1）（2）解（1）因为设则当所以（2）小结：1．极限过程：7种；2．极限运算法

6、则；3．常用的几个极限：（1）（2）（3）（4）（5）