应用高等数学 教学课件 ppt 作者 胡桐春ppt 7.2 数理逻辑(2).ppt

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1、在命题逻辑中，原子为基本单位，不能再分，因此具有局限性，使有些简单命题无法判断。例：著名的“苏格拉底三段论”：P:凡人都是要死的。Q:张三是人。R:张三要死的。P∧Q→R应该是永真式，但在命题逻辑中无法证明。解决方法：命题分解成个体词、谓词、量词。7.2.3谓词逻辑1谓词逻辑基本概念个体词：可以独立存在的客体。可以是具体的事物，也可以是抽象的概念。用小写字母表示：a,b,c,...,x,y,z.定义：用以刻划个体词的性质或关系的词(命题函数)称为谓词。用大写字母表示：F(),G().个体域D：个体词的取值范围。全总个体域D：包含宇宙间所有的事物组成的个体，是研究问题中最大的个

2、体域。谓词的取值范围：{0,1}.2例：是无理数。小王是程序员。小李比小王高2厘米。H(x):x是程序员。H(小王)。G(x,y):x比y高2厘米。G(小李,小王)。F(x)、H(x)是一元联结词；G(x,y)是二元联结词。含n个个体词的谓词称n元谓词。P(x1,x2,...,xn).不含个体词的谓词称零元谓词。符号化：设F(x):x是无理数。F(),F()。3对于个体词具有数量的概念。如所有的人都要死的。有的人活百岁以上。定义7.11：“任意x”称全称量词，记x。“存在一个x”称存在量词，记x。对上面的例子，可设F(x):x要死的。xF(x).G(x):x活百岁

3、以上。xG(x).这两个命题的真值都为T.4注意：①x的定义域D不同，符号可能不一样。如：D={人类}，符号同上；如：D为全总个体域，加特性谓词：M(x):x是人。x(M(x)→F(x))......(1)x(M(x)∧G(x))......(2)②没有给定定义域，则为全总个体域。③全称量词和存在量词的符号化形式不同：见(1),(2)式。5④但定义域有限时，设D={a1,a2,...,an}xF(x)F(a1)∧F(a2)∧∧F(an).xG(x)G(a1)∨G(a2)∨∨G(an).⑤不能随意颠倒量词的顺序。例：“对任意的x，存在y，使x+y=5”。D=R

4、,H(x,y):x+y=5.则xyH(x,y)T。但yxH(x,y)F。6命题符号化：确定谓词——确定个体词及量词——依量词确定逻辑关系。x(M(x)→F(x))......(1)x(M(x)∧G(x))......(2)7例1：每一个有理数都是实数。某些实数是有理数。不是每一个实数都是有理数。解：设P(x):x是有理数。Q(x):x是实数。x(P(x)→Q(x)).x(Q(x)∧P(x)).¬x(Q(x)→P(x)).■8例2:(1)所有的正数均可开平方；(2)没有最大的自然数。解：(1)设R(x):x是实数。G(x,y):x>y。S(x):x可以

5、开平方。。x(R(x)∧G(x,0)→S(x)).(2)设N(x):x是自然数。G(x,y):x>y。x(N(x)→y(N(y)∧G(y,x)).■9例3:“科学家都教育自己的孩子成为科学家，有一个人教育他的孩子去做官。证明：这个人一定不是科学家。”解：设S(x):x是科学家。E(x):x教育他的孩子成为科学家。x(S(x)E(x))，x(¬E(x))x(¬S(x)).■10例4每一个人的外祖父都是他母亲的父亲。解：多个体词。设P(x):x是人；O(x,y):x是y的外祖父；F(x,y):x是y的父亲;M(x,y):x是y的母亲。xyz(P(x)∧P(y

6、)∧P(z)∧O(x,y)∧M(z,y)F(x,z)).■yzx11例5不管黑猫白猫，抓住老鼠就是好猫。解：设B(x):x是黑猫；W(x):x是白猫；M(x):x抓住老鼠；G(x):x是好猫。x((B(x)∨W(x))∧M(x)G(x)).■12例6对平面上任意两点，有且仅有一条直线通过这两点。解：设P(x):x是点；L(x):x是直线；R(x,y,z):z通过x,y；E(x,y):x等于y。xy(P(x)∧P(y)z(L(z)∧R(x,y,z)∧u(L(u)∧R(x,y,u)E(u,z)))).也可：xy(P(x)∧P(y)∧¬E(x,y)!

7、z(L(z)∧R(x,y,z))).■13谓词公式定义字母表如下：(1)个体常项：a,b,c,…(2)个体变项：x,y,z,…(3)函数符号：f(),g(),…(4)谓词符号：P(),Q(),…(5)量词符号：,(6)逻辑符号：¬,∨,∧,→,,(7)括号与逗号：(,),，个体词D注意函数与谓词的区别14定义：谓词逻辑中的项，被递归定义为：(1)任意的个体常项或个体变项是项；(2)若f(x1,x2,…xn,)是n元函数符号,t1,t2,…tn是项,则f(t1,t2,…tn)是项；(3)所有项