应用高等数学 教学课件 ppt 作者 胡桐春ppt 7.1 集合与关系(2).ppt

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1、二元关系可表达关系：兄弟、同事、小于、等于、整除。定义：任何一个有序对集合称为一个二元关系，简称关系，记作R。(R为A×B的子集)、(A2的子集R称为A上的二元关系)R由组成，若R，称a,b有关系R,记aRb，否则aRb。1例如，集合A={a,b,c},B={b,c,d},A到B的一个二元关系R={,,}.几种特殊的关系若R=，称R为空关系；若R=A×B，称R为全关系；若IA={

2、aA},称IA为A上的恒等关系。2解：全关系：A×A=A2={

3、,,,,,,,,}.恒等关系：IA={,,}.■例2：A={2,3,5},B={2,3,4,5,6}.R={

4、a

5、baA,bB}.求R.解：R={<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6>,<5,5>}。■例1：A={a,b,c},求A上的全关系和恒等关系。3解:R={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,1>,<3,3>,<4,2>,<4,4>}.S=

6、{<4,1>}.R∪S={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,2>,<4,4>}.R∩S=.~R={<1,2>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,1>,<4,3>}.S－R={<4,1>}=S.■显然，R∪S,R∩S,~R,S－R仍为关系。（定理）例3:A={1,2,3,4},R={

7、是整数，a,bA}={

8、a,bA,a≡b(mod2)},S={

9、是正整数},求R∪S,R∩S,~R,S-R.4例4

10、:H={f,m,s}表示一家庭成员。试确定H上的全关系，空关系，另外再确定一关系。解：设R1为同一家庭成员关系，则R1={,,,,,,,,}=H×H.为H的全关系。设R2为互不相识关系，则R2=.为H的空关系。设R3为长幼关系，则R3={,}.■5例5:A={a,b},R是ρ(A)上的包含(于)关系。求R.解：ρ(A)={,{a},{b},{a,b}}.={,{a},{b},A}.R={<,>,<

11、,{a}>,<,{b}>,<,A>,<{a},{a}>,<{a},A>,<{b},{b}>,<{b},A>,}.■另有≤关系,<关系。关系的另两种表示方法：矩阵、图形。6关系矩阵和关系图当

12、A

13、=

14、B

15、时，MR为方阵。定义A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bn},R是A,B上的二元关系。7例6.A={1,3,5,7},B={2,4,6},R={

16、xA∧yB∧x>y}.求MR.解:R={<3,2>,<5,2>,<5,4>,<7,2>,<7,4>,<7,6>}.反过来，可从M

17、R写出关系R.8例7.A={1,2,3,4,5,6},R={

18、x/yN,x,yA}.求MR.解:R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,6>}.9几个特殊关系的关系矩阵空关系全关系恒等关系10二元关系的图表示定义A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bn},R是A,B上的二元关系，用空心点表示a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn,称为结点。若

19、R,则结点ai到bj用有向弧连接，若R,则结点ai到bj无有向弧连接，这样得到R的关系图。若R,则结点ai到aj有一条有向的封闭弧，称为自回路。11例8.A={1,3,5,7},B={2,4,6},R={

20、xA∧yB∧x>y}.求R的关系图.解:前面已求R={<3,2>,<5,2>,<5,4>,<7,2>,<7,4>,<7,6>}.R的关系图:反过来，可从关系图写出关系R.1357246AB12例9.A={1,2,3,4,5,6},R={

21、x/yN,x,yA

22、}.求R的关系图.解:R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,6>}.A123456关系图R关系矩阵三者之间关系.(知道其中之一就能推出另两个)137.1.5关系的性质自反与反自反性定义7.6:RA2,若a