应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 8-4.ppt

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1、8·4傅里叶级数案例研究案例8.4三角级数逼近：设矩形波的波形函数f(x)是周期为的周期函数，在上的表达式为其图形如图所示.用计算机依次画出下列三角函数在区间内的图像，你能找到什么规律？结论可以看出，随着项数的增加，对应的曲线逐渐逼近这就是说，矩形波函数可以通过正弦波迭加得到.抽象归纳周期为2π的函数展开成傅里叶级数定义形如的级数称为函数f(x)的傅里叶（Fourier）级数，其中称为函数的傅立叶系数.问：函数f(x)满足什么条件就可以展开成傅立叶级数呢？傅里叶级数收敛定理设是周期为的周期函数.若它满足条

2、件：在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则函数的傅立叶级数收敛，并且（1）当x是f(x)的连续点时，级数收敛于（2）当x是f(x)的间断点时，级数收敛于例1设f(x)是以为周期的函数，它在上的表达式为将展开为傅立叶级数.解计算傅立叶系数如下：的傅立叶级数为即因为傅立叶级数在间断点处收敛于在连续点（即）处，收敛于所以级数的收敛图像如图：例2设f(x)是周期为的函数，在上的表达式为将f(x)展开为傅立叶级数.解由于是奇函数，所以有f(x)的傅立叶级数为在间断点处，它收敛于在连续

3、点（即）处，收敛于即级数的收敛图像如图：例3设f(x)是周期为的函数，在上的表达式为将f(x)展开为傅立叶级数.解因为f(x)是偶函数，所以有级数的收敛图像如图：一般地，周期为的奇函数f(x)展开成傅立叶级数时，其傅立叶系数为于是f(x)的傅立叶级数为它只含有正弦项，称为正弦级数.周期为的偶函数展开成傅立叶级数时，其傅立叶系数为于是的傅立叶级数为它只含有余弦项，称为余弦级数.案例8.2.1的解将代入上述例3的傅里叶级数中，得于是，得若记则两式相加，得解得即周期为2L的函数展开成傅立叶级数问：怎样求周期为2

4、L的函数的傅立叶级数？方法：设以2L为周期的函数满足收敛定理的条件，作变量代换即显然，当x在区间[-L，L]上取值时，t在区间[-π，π]上取值.将代入函数中，得上式右边是变量t的函数，记作即是以为周期的周期函数，并且也满足收敛定理的条件.将展开为傅立叶级数：其中在以上各式中，再将变量t换成x，且有于是得到周期为2L的函数f(x)的傅立叶级数展开式为其中若是奇函数，则它的傅立叶级数是正弦级数其中若是偶函数，则它的傅立叶级数是余弦级数其中例4设是周期为4的周期函数，它在上的表达式为（A为不等于0的常数）.将

5、展开为傅立叶级数.解因为2L=4，所以L=2，的傅立叶系数为故的傅立叶级数为：级数的收敛图像如图：例5将函数f(x)=x+1(0≤x≤1)展开成正弦级数.解将f(x)=x+1(0≤x≤1)延拓成以2为周期的周期函数F(x)，即F(x)是以2为周期的奇函数，且当0≤x≤1时，F(x)≡计算的傅立叶系数如下：于是，得到F(x)的傅立叶级数为所以，函数f(x)的正弦级数为在区间（0，1）的端点处正弦级数的和都分别收敛于0.一般地，若将[0，L]上的函数f(x)展开为正弦级数，则将f(x)延拓成为上的奇函数F(x

6、)（称为奇延拓），即然后将F(x)展开为傅立叶级数，这样即可得到定义在[0，L]上的函数f(x)的正弦级数.若将[0，L]上的函数f(x)展开为余弦级数，则将f(x)延拓成为上的奇函数F(x)（称为偶延拓），即然后将F(x)展开为傅立叶级数，这样即可得到定义在[0，L]上的函数f(x)的余弦级数.小结：1．傅里叶级数的定义；2．傅里叶级数的收敛定理；3．正弦级数与余弦级数；4．周期为2L的函数展开成傅立叶级数；5．傅里叶级数的应用.