应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 8-3.ppt

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1、8·3幂级数案例研究案例8.3多项式逼近：用计算机画出函数的图像，然后依次画出多项式函数的图像，你能找到什么规律？抽象归纳幂级数的概念定义下面的级数称为幂级数：其中常数称为幂级数的系数.例当时，幂级数成为例1讨论下列幂级数的收敛性：解当时，收敛，从而收敛；当时，发散，可以证明也发散；当时，发散；当时，收敛.因此，在内收敛，而在其他区间外发散.幂级数的收敛定理设幂级数相邻两项系数之比的极限（1）若则当时，幂级数收敛，当时，幂级数发散；（2）若则对任意幂级数收敛；（3）若则幂级数仅在x=0处收敛.定义我们把称为幂级数的收敛半径，记作R，即当时，规定当时，规定即

2、讨论：如何由幂级数的收敛半径得出幂级数的收敛范围？定义幂级数的收敛范围称为收敛区间.例2求幂级数的收敛半径和收敛区间.解因为所以幂级数的收敛半径为收敛区间为例3求幂级数的收敛半径和收敛区间.解因为所以幂级数收敛半径为收敛域只有x=0一个点.例4求幂级数的收敛区间.解因为所以幂级数的收敛半径为即当时，级数收敛.当x=2时，级数成为它是收敛的；x=－2时，级数成为它是发散的.所以幂级数的收敛区间是当例5求幂级数的收敛区间.解令上述级数成为因为所以幂级数的收敛半径为于是，由t=x2得原幂级数的收敛半径当时，原幂级数为它是发散的，故原幂级数的收敛区间为例6求幂级数

3、的收敛区间.解令原级数成为因为所以，幂级数的收敛半径为当t=1时，幂级数成为它是收敛的；当t=－1时，幂级数成为它是发散的.因此幂级数的收敛区间是由得即所以原级数的收敛区间为函数展开成幂级数上面我们讨论了幂级数.在收敛域内，幂级数的和是x的函数，称为和函数.例如，幂级数的和函数即问题：给定函数它能否在某个区间内“展开成幂级数”？定义若能找到这样一个幂级数它在区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数即则称函数在该区间内能展开成幂级数，并称该幂级数为的幂级数展开式.问：若函数能展开成幂级数，怎样确定幂级数的系数呢？对上述等式两边求各阶导数，得………将代入各等式，得

4、于是，得定义若的能展开成幂级数，则并称之为的麦克劳林（Maclaurin）展开式，右边的幂级数称为麦克劳林级数.收敛的条件记则当有阶导数时，有其中在0与x之间.若函数在区间内满足条件则在区间内能展开为幂级数.定义下式称为的泰勒（Taylor）展开式，右边的幂级数称为泰勒级数.例7将函数展开成幂级数.解因为其各阶导数为所以于是有级数可以证明，当时，极限所以有展开式应用：可以应用上述幂级数求出e的任意精确值.将代入上式，得取级数的前项作为e的近似值，得其余项为由于所以只须取即其误差少于例8将函数展开成幂级数.解因为其n阶导数为所以于是有级数可以证明，当时，极限

5、所以有展开式应用：应用上述幂级数计算的近似值.将代入上式，得将代入，得讨论：你能否估计出它的误差值？例9将函数展开成幂级数.解因为求导得所以，可以证明，当时，极限所以有展开式上式通常称为二项展开式.例10将函数展开成幂级数.解对下式逐项求导即得例11将函数展开成幂级数.解在的展开式中，将x换成得将上式从0到x逐项积分，得例12将函数在处展成泰勒级数.解因为所以，得小结：1．幂级数的概念；2．幂级数的收敛定理；3．收敛半径和收敛区间；4．麦克劳林级数，泰勒级数.