应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 7-3.ppt

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1、7·3二阶常系数线性微分方程案例研究案例7.3物体的振动方程:如图所示,弹簧上端固定,下端挂一个质量为m的物体,O点为平衡位置.若在弹性限度内用力将物体向下一拉,随即松开,物体就会在平衡位置O上下作自由振动,忽略物体所受的阻力(如空气阻力等),并且当运动开始时,物体的位置为初速度为求物体的运动规律.分析设物体的运动规律为由于忽略阻力,因此物体只受到使物体回到平衡位置O的弹性恢复力的作用.由物理学中的胡克定律可知,弹性恢复力其中k为弹性系数,负号表示力f的方向与位移x的方向相反.根据牛顿第二定律,得微分方程在上述方程中,令则有初始条件为该方程是二阶微分方程,且各项系数为常

2、数,因此称为二阶常系数线性微分方程.下面我们来研究它的解法.抽象归纳二阶常系数齐次线性微分方程定义形如(p,q是常数)的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.例解的性质:若函数都是方程的解,则也是该方程的解,其中是任意常数.构造性解法:如果能找到方程的两个解且(这时可保证中的不可能合并为一个常数),那么可构造出方程的通解为二阶常系数齐次线性微分方程的解法:(1)猜想是的解(2)找出r值:将代入方程,得因为所以有上式说明,是微分方程的解当且仅当r是方程的根.代数方程叫做微分方程的特征方程.特征方程的根r叫做微分方程的特征根.(3)构造出通解:若能由特征根得出两个解则可由

3、前面的构造性方法得到方程的通解.讨论将特征方程与特征根类比,有何相似之处?如何由微分方程写出对应的特征方程?特征方程的两个根可以用公式求出.它们有下列三种情况:(1)特征根是两个不相等的实根:这时方程有两个特解且所以,方程的通解是例1求微分方程的通解.解所给微分方程的特征方程为即特征根为所以,方程的通解为(2)特征根是两个相等的实根:因为所以只能得到方程的一个特解:可求得另一个特解为从而,方程的通解为即例2求微分方程满足初始条件的特解.解特征方程:特征根为所以,方程的通解为将代入,得于是,有求导,得由初始条件得所以,特解为(3)特征根是一对共轭复根:这时就是方程的两个特

4、解,因此函数仍然是方程的解,且它们的比不是常数.所以,的通解为例3求微分方程的通解.解特征方程为特征根为所以,方程的通解为总结:求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下:第一步写出微分方程的特征方程第二步求出特征方程的两个根与第三步根据特征方程的两个根的不同情形,按下表写出方程的通解:特征方程的两个根与的情况两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根微分方程的通解案例7.3的解因为微分方程的特征方程为特征根为所以,微分方程的通解为为了求出满足初始条件的特解,对上式两端求导,得由初始条件,得于是,特解为上式可化为令则为所求的运动规律.二阶常系数非齐次线性微分方程定义形

5、如的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p、q是常数.通解结构若是它的对应的齐次方程的通解,是的一个特解,则函数是的通解.解法:1.其中是一个n次多项式,是常数这时方程具有形如的特解.其中是一个待定的n次多项式,k是一个整数.当不是特征根时,k=0;当是特征根,但不是重根时,k=1;当是特征根,且为重根时,k=2.例4求微分方程的通解.解原方程对应的齐次方程是特征方程为特征根为于是,齐次方程的通解为又原方程中可知因为是特征根,但不是重根,且是1次多项式,所以应取可设原方程的特解为对上式求导数,得将它们代入原方程,化简后约去得分别比较x的系数和常数项,得解得因此

6、,原方程的一个特解为于是原方程的通解为2.其中是常数,分别是l次和n次多项式这时,方程具有形如的特解,其中是m次多项式,k是一个整数,不是特征根时,k=0;当是特征根时,k=1.当例5求微分方程的通解.解对应的齐次方程是特征方程为特征根为所以对应的齐次方程的通解为又原方程中可知因为不是特征根,所以应取设原方程的特解为把它代入原方程,得比较等式两端的系数,得解得因此,特解为于是,通解为例6如图,已知先将开关K拨向A,使电容充电,当达到稳定状态后再将开关K拨向B.设开关K拨向B的时间求时的电压解设在t时刻通过R的电压降为通过L的电压降为则由基尔霍夫电压定律,有将它们代入前面

7、的等式中,得将代入上式,得初始条件为特征方程为解之,得特征根为于是,通解为由初始条件得于是,得所求特解为小结1.二阶常系数齐次线性微分方程(1)定义:(2)解的结构:(3)解法:代数方法2.二阶常系数非齐次线性微分方程(1)定义:(2)通解结构:(3)解法:代数方法

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