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《应用数学 教学课件 ppt 作者 供各专业使用 李伶ppt 第八章第三节 多元函数的极值.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节多元函数的极值一、多元函数的极值第八章二元函数微分在一元微分学中，我们曾用导数来求一元函数的极值．现在，我们将借助偏导数来讨论二元函数的极值问题．定义设函数在点的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于的点,都有（或）则称函数在点取得极大值（或极小值）.极大值与极小值统称为函数的极值；使函数取得极值的点称为极值点.第三节多元函数的极值一、多元函数的极值第八章二元函数微分练习1讨论下述函数在原点（０，０）是否取得极值解依定义可以判断在点（０，０）处取得极小值f（0，0）=0(如图8-5所示，（0,0,0）是开口向上的旋转抛物面的顶点)第
2、三节多元函数的极值一、多元函数的极值第八章二元函数微分在点（0,0）处取得极小值f（0，0）=0(如图8-6所示，（0,0,0）是开口向上的锥面的顶点)点（0,0）不是马鞍面的极值点(如图8-7所示）第三节多元函数的极值一、多元函数的极值第八章二元函数微分第三节多元函数的极值一、多元函数的极值第八章二元函数微分定理1设函数在点具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为零，即使，同时成立的点,称为函数的驻点．定理表明,可导函数的极值点必为驻点,反过来,函数的驻点却不一定是极值点.第三节多元函数的极值一、多元函数的极值第八章二元函数微分定理2（
3、极值存在的充分条件）设函数在点的某邻域内具有二阶连续的偏导数,又,记则函数在点处是否取得极值的条件如下：(1)当时具有极值,且当时有极大值,当时有极小值；(2)当时没有极值；(3)当时可能有极值,也可能没有极值,需另作判定．第三节多元函数的极值一、多元函数的极值第八章二元函数微分练习2求函数的极值．解函数具有二阶连续偏导数,故可疑的极值点只可能为驻点．先解方程组求出全部驻点为．第三节多元函数的极值一、多元函数的极值第八章二元函数微分再求二阶偏导数在点处，所以，在点处取得极小值.在点处，所以，点不是极值点.第三节多元函数的极值一、多元函数的极值
4、第八章二元函数微分在点处，所以，点不是极值点.在点处，所以，在点处取得极大值.第三节多元函数的极值二、多元函数的最值第八章二元函数微分对于有界闭区域上连续二元函数，一定能在该区域上取得最大值和最小值.使函数取得最值的点既可能在的内部,也可能在的边界上．1．若函数的最值在区域的内部取得,这个最值也是函数的极值，它必在函数的驻点或使、不存在的点之中.2．若函数在的边界上取得最值,可根据的边界方程,将化成定义在某个闭区间上的一元函数,进而利用一元函数求最值的方法求出最值．第三节多元函数的极值二、多元函数的最值第八章二元函数微分3．有界闭区域上的连续
5、函数最值求法如下:(1)求出在的内部,使,同时为零的点及使或不存在的点；(2)计算出在的内部的所有可疑极值点处的函数值；(3)求出在的边界上的最值；(4)比较上述函数值的大小,最大者便是函数在上的最大值；最小者便是函数在上的最小值．第三节多元函数的极值二、多元函数的最值第八章二元函数微分练习3求二元函数在区域上的最值解函数在内处处可导，且得驻点以及相应的函数值.考虑函数在区域D的边界上的情况:在边界上,二元函数成为的一元函数第三节多元函数的极值二、多元函数的最值第八章二元函数微分则在边界上，二元函数成为的一元函数则在边界上，二元函数成为的一元
6、函数第三节多元函数的极值二、多元函数的最值第八章二元函数微分则所以，函数在闭区域上的最大值、最小值分别为与第三节多元函数的极值二、多元函数的最值第八章二元函数微分练习4用铁板做成一个体积为２ｍ３的有盖长方体水箱，当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能用料最省？解设水箱的长为x米，宽为y米，高为米，则表面积为解方程组得唯一驻点第三节多元函数的极值二、多元函数的最值第八章二元函数微分练习5设商品A的需求量为x万件，价格为每件p元，需求函数为x＝２６－p；商品B的需求量为y万件，价格为每件q元，需求函数为y＝１０－０畅２５q，生产两种商品的总成本函数，
7、问两种商品各生产多少时，才能获得最大利润？最大利润为多少？解由x＝２６－p得p＝２６－x；由y＝１０－０.２５q得q＝４０－４y，生产x万件商品A的收入为第三节多元函数的极值二、多元函数的最值第八章二元函数微分生产y万件商品B的收入为所以总收入为总利润为第三节多元函数的极值二、多元函数的最值第八章二元函数微分由得驻点（５，３）.根据实际问题，L必有最大值且函数只有一个驻点（５，３），所以，当生产A商品５万件B商品３万件时所得利润最大，最大利润L（５，３）＝１１５（万元）.第三节多元函数的极值二、多元函数的最值第八章二元函数微分练习6今分别取甲
8、、乙、丙三种药液配制成升混合液．由于度量误差，使混合药液出现了升的误差．求三种药液的度量误差各为多少时，才能使它们的平方和最小？解设甲、乙和丙三种药液的度量误差分别
