应用经济数学电子教案 教学课件 ppt 作者 冯翠莲 4-4.ppt

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1、ESC§4.4换元积分法这是因为例如,所以,的原函数.不是换元积分法要解决上述问题,可进行适当的变量替换在利用基本积分公式对被积函数求不定积分时,要求积分变量与被积函数中的元(即)必须严格对应.只有这样才能直接积分.否则,就不能利用直接积分法.ESC§4.4换元积分法这是因为例如,的原函数.不是换元积分法所以,令则被积函数被积表达式所以,将代回换元积分法ESC§4.4换元积分法换元积分法令则由于即是的原函数.所求不定积分是正确的.上述方法具有普遍性是否正确呢?ESC§4.4换元积分法分析案例1求不定积分微分法积分法

2、逆运算从求导数入手对于复合函数令则对的导数为将上式右端求不定积分:=======变量替换令=======变量还原=========用积分公式复合函数导数以上积分过程逆运算ESC§4.4换元积分法=======变量替换=========用积分公式========变量还原换元积分法设若是可微函数,则有ESC§4.4换元积分法对照案例一换元积分法公式这是的函数案例的计算过程这是的函数这是的导数这是的导数练习1求解ESC§4.4换元积分法被积函数是两个因子:和的乘积注意到视则因子是的函数,恰是的导数.而因子由此正是形式.设

3、则于是可用换元积分法练习2求解ESC§4.4换元积分法被积函数是两个因子:和的乘积视于是被积函数具有形式则于是可用换元积分法因设练习2求解ESC§4.4换元积分法被积函数是两个因子:和的乘积视于是被积函数具有形式可用换元积分法因本例可不设出中间变量,按如下格式书写:练习3求解ESC§4.4换元积分法因且若视则可用换元积分法练习4求解ESC§4.4换元积分法若视则可用换元积分法注意到是线性函数,是线性函数的函数且的导数是常数,即练习５解ESC§4.4换元积分法于是用降幂公式求并注意到由不定积分的运算性质由换元积分法E

4、SC§4.4换元积分法有计算定积分案例2注意到于是由牛顿—莱布尼茨公式本案例是求定积分.在用牛顿——莱布尼茨公式之前,需先求出被积函数的一个原函数.ESC§4.4换元积分法计算定积分案例2由牛顿—莱布尼茨公式本案例一般按下面的方式书写练习6解ESC§4.4换元积分法故计算定积分由于由牛顿—莱布尼茨公式ESC§4.4换元积分法计算定积分案例3本案例是求定积分.在用牛顿—莱布尼茨公式之前,需先求出被积函数的一个原函数.令得则为去掉被积函数中的根式为化当时,当时,于是=======变量换元=======恒等变形=====

5、==用公式练习7解ESC§4.4换元积分法计算定积分令得则当时,当时,于是出新元,换新限;新元不出现,上下限不变.练习8解ESC§4.4换元积分法计算定积分当时,在§4.1练习1中,我们已由定积分的几何意义得到该定积分的结果令得当时,由偶函数在对称区间上定积分的结论这里用换元积分法计算该定积分.练习8解ESC§4.4换元积分法计算定积分当时,在§4.1练习1中,我们已由定积分的几何意义得到该定积分的结果令得当时,这里用换元积分法计算该定积分.解ESC§4.4换元积分法令当时,因练习9计算定积分得当时,练习8、练习9

6、的被积函数中均含有根式,都是通过变量换元使被积函数有理化,从而求得积分结果.按被积函数所含根式的形式可归纳为如下一般情况,ESC§4.4换元积分法被积函数含有根式():(1)则设(2)则设ESC§4.4换元积分法被积函数含有根式():(3)则设“出新元,换新限!!!”“新元不出现,上下限不变.”在使用换元积分法时,一定要注意: