平面问题的极坐标解答(研).ppt

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1、第七章平面问题的极坐标解答第一节平衡微分方程第二节位移与应变第三节基本方程第四节轴对称问题第五节受均布压力的圆环第六节曲梁的纯弯曲第七节楔形体在楔顶或楔面受力第八节圆孔的孔边应力集中习题圆形、楔形、扇形等，边界条件用直角坐标可能十分复杂，而用极坐标却十分简单。第七章极坐标第一节平衡微分方程和直角坐标系类似，在仅考虑微分体时，微分体相对面上的应力可看成是大小相等，方向相反。考虑平面上的一个微分体，沿ρ方向的正应力称为径向正应力，用σρ表示，沿φ方向的正应力称为切向正应力，用σφ表示，切应力用τρφ表示，各应力分量的正负号的规定和

2、直角坐标中一样。在考虑整体时，微分体各面上的差异就必须加以考虑，我们从ρ方向和与之垂直的φ方向加以考虑。第一节平衡微分方程考虑图示单元体半径ρ方向的平衡，在ρ面处，正应力记为σρ,ρ+dρ处应力为:在φ面处,切应力记为,φ+dφ处切应力为:在φ面处，正应力记为σφ,φ+dφ处正应力为:以上各应力和相应的面的面积相乘，就得到该面上的内力，以上各量加上体力分量总和得到：σφτφρ第一节平衡微分方程同理考虑与ρ垂直的φ方向的平衡可得到:上述方程和直角坐标系下的平衡方程有所不同，直角坐标系中，应力分量仅以偏导数的形式出现，在极坐标系中

3、，由于微元体垂直于半径的两面面积不等，而且半径愈小差值愈大，这些反映在方程里带下划线的项中。最后得到ρ与φ两个方向的平衡方程:这里应力分量仍然为三个，平衡方程二个。第一节平衡微分方程第二节位移与应变我们从物体中取出ρ方向上长dρ的线段PA，变形后为P'A'，P'点的位移为(u,0)，A'点ρ方向的位移为:先假定只有径向位移而无环向位移：因此PA正应变为:φ方向上的位移为零。dφφdρ因此PB正应变为:角APB的变化为PB的转角：第二节位移与应变dφφdρ从物体中取出φ方向上长ρdφ的线段PB，变形后为P'B'，B'点ρ方向的位

4、移为:再假定只有环向位移而无径向位移：线段PA，变形后为P‘A’，P‘点的位移为(0,v)，A'点φ方向的位移为:ρ方向的位移为零，因此PA正应变为第七章极坐标第二节位移与应变ddφvφ因此PB正应变为第七章极坐标第二节位移与应变ddφvφB'点φ方向的位移为:φ方向上长ρdφ的线段PB，变形后为P'B'，B'点ρ方向上的位移为零。12PB的方向用射线1表示，PB的方向用射线2表示，PB的转角为角POP‘：（向角外转为负）线段PA的转角是线段PB的转角是于是，直角APB的改变量为:前面只有径向位移而无环向位移,角APB的变化为

5、:第七章极坐标第二节位移与应变ddφvφ这就是极坐标中的应变分量的表达式。对于相同的位移，应变的大小和与极点的距离有关。总和上述两个方向的应变，得到：第七章极坐标第二节位移与应变ddφvφ第三节基本方程极坐标问题的解法和平面问题类似，通常采用应力函数法，为此需要将应力函数的直角坐标表达式化为极坐标，将相容方程化为极坐标。物理方程极坐标也是正交坐标，因此物理方程与直角坐标相同：平衡方程几何方程为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程，利用极坐标和直角坐标的关系：得到第三节基本方程第三节基本方程在φ=0时，极坐标的各分量和直

6、角坐标各分量相同。将上面各式代入应力分量的表达式（常体力）得到第三节基本方程上式是极坐标中的重调和函数。现在的问题是求解上述方程的边值问题。代入直角坐标应力函数在常体力情况下的表达式和直角坐标系中类似，它的解答一般都不可能直接求出，在解决具体问题时，只能采用逆解法、半逆解法。第三节基本方程得到极坐标中应力函数φf应满足的相容方程第四节轴对称问题这是一个四阶常微分方程，它的通解为:相容方程简化为:如果应力分量仅是半径的函数，如受内外压的圆环，称为轴对称问题。采用半逆解法，假定应力函数仅是径向坐标的函数:φf=φf(ρ)正应力分量

7、仅是ρ的函数，与φ无关，并且切应力为零，应力分量对称于通过z轴的任一平面，称为轴对称应力。这时，应力的表达式为:第四节轴对称问题轴对称时将上述应力的表达式代入应力应变关系式中，可以得到应变的表达式,再代入位移与应变的几何方程，积分后,得到位移的积分形式:第四节轴对称问题第五节受均布压力的圆环由边界条件得到:内半径为a，外半径为b的圆环受内压力qa，外压力为qb的圆环，为轴对称问题，根据上节其解为:边界条件为:第五节受均布压力的圆环在这里只有两个方程，而有三个待定常数，需要从多连体的位移单值条件补充一个方程。在环向表达式中，第一

8、项是多值的，在同一ρ处，φ=φ0和φ=φ0+2π时，环向位移成为多值，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须有B=0。这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式，得到拉密解答：第六章极坐标第五节受均布压力的圆环于是:1.单受内压时，径向受压，环向受拉，与半径的平方成