微分中值定理和导数的应用.ppt

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1、1微分中值定理和导数的应用第四章2微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。1.预备定理——费马(Fermat)定理费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节微分中值定理3几何解释:1.预备定理——费马(Fermat)定理曲线在最高点或最低点如果有切线，则切线必然是水平的。4证明:极限的保号性52.罗尔(Rolle)定理xOyCxaby=f(x)AB几何解释:如果连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标相

2、等。那么，在曲线弧上至少有一点C(x,f(x))，曲线在C点的切线是水平的。如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)f(a)f(b)，则至少存在一点x(a,b)，使得f(x)0。6证由费马引理,所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。7注意：f(x)不满足条件(1)f(x)不满足条件(3)f(x)不满足条件(2)BxOyAabxOyABabcxOyABab如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。8例1验证9例2不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几

3、个零点，以及其所在范围。解f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在[1,2]，[2,3]上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点x1，使f(x1)=0，x1是f(x)的一个零点。在(2,3)内至少存在一点x2，使f(x2)=0，x2也是f(x)的一个零点。f(x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1,2)及(2,3)内。思考：f(x)的零点呢？10例3证结论得证.11证例412证例513如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点x(a,b)内，使得几何意义：3.拉格

4、朗日(Lagrange)中值定理C2hxOyABaby=f(x)C1x14证明作辅助函数15例616拉格朗日中值公式又称有限增量公式.或特别地,或拉格朗日中值公式另外的表达方式：17推论1证明18推论2证明即得结论。19例7证由推论1知,20利用拉格朗日定理证明不等式例8证21例9证由上式得22例10证类似可证：推论234.柯西(Cauchy)中值定理设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点x(a，b)内，使得如果取g(x)x，那么柯西中

5、值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：证略.24P148习题四练习：25第二节洛必达法则在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.及26定理(洛必达法则)(证略)某去心邻域内有定义且可导,且满足下列条件：和型未定式一、27说明：5.洛必达法则可多次使用。只能说此时使用洛必达法则失败,需另想它法；28例1用“洛必达法则”求极限例题练习:比较:因式分解，29例2比较:30练习:或解等价无穷小替换31例332例4及时分离非零因子33例5例634例6或解：及时分

6、离非零因子35例7解洛必达法则失效。练习不能使用洛必达法则。解极限不存在？？36二、其它类型的未定式例8解法：转化为或型不定式。步骤:37例9步骤:38步骤:例10对数恒等式39例11或解(重要极限法)：40例12解41例13解所以42练习解43解例14这是数列极限,不能直接使用洛必达法则,要先化为函数极限.44或解例1445小结洛必达法则463.若不存在时,不能断定原极限是否存在,此时法则失效,改用其它方法.洛必达法则并不能解决一切未定式的极限问题.应用洛必达法则应注意的几个问题:1.应用洛必达法则时要分别求分子及分母的导数,切忌不要把函数当做整个分式来求导.

7、2.洛必达法则可以累次使用,但必须注意,每次使用前需确定它是否为未定式.4.使用洛必达法则时,要灵活结合其它方法,如等价无穷小替换、凑重要极限、分离非零因子、恒等变形、换元等.47P148习题四练习：48第三节函数的单调性49函数的单调性与导数符号的关系观察与思考：函数单调增加函数单调减少函数的单调性与导数的符号有什么关系？50函数单调增加时导数大于零；观察结果：函数的单调性与导数符号的关系函数单调增加函数单调减少函数单调减少时导数小于零。51定理52证应用拉格朗日定理,得53例1解例2解54例3解55例4解56也可用列表的方式，例4解57导数等于零的点和不可导

8、点，可能是单调区间的分界