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1、浅析两道二次函数背景下的江西中考题临川二中熊晓泉2013.3.27一、二次函数内容在江西中考试题中的呈现方式：近几年，江西中考数学卷都是将二次函数背景的试题作为压轴题之一（一般是倒数第二题），且通常将二次函数与几何图形综合，同时带有一定的探索开放性，所占分值在9—10分，难度较大，梯度较高，是体现试卷选拔功能的常用题型.3．用配方法可将化为，由此可得到对称轴直线,顶点坐标.二、二次函数基本知识点梳理（一）二次函数的概念一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数，其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.（二）二次函数的表达式1．三种表达式:2．
2、选择适当表达式的依据：想一想？②b的值与抛物线对称轴位置的关系：当时b=0，对称轴是直线x=0（即y轴）；当同号时，对称轴平行于y轴，且在y轴的左则；当异号时，对称轴在y轴的右侧.①的符号确定抛物线的开口方向，的大小决定抛物线的开口程度（大小）.（三）二次函数的图象及其性质二、二次函数基本知识点梳理1．二次函数的图象是一条抛物线.画二次函数的草图，通常可采用“五点法”（顶点，与x轴的两个交点，与y轴的交点及其对称点）.2．若二次函数的顶点式为，（是常数,），则其图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的增减性和最值与的值有关.3．二次函数中系数的意
3、义:③c的值确定抛物线与y轴交点的位置，它是抛物线与y轴交点的纵坐标.（四）二次函数图象的平移二次函数基本知识点梳理1．二次函数的图象与抛物线的形状相同，只是位置不同，它们之间可通过平移变换由于个得到另一个.2．平移规律（易错点）：“左加右减，上加下减”（指平移前后解析式的变化）.二次函数基本知识点梳理（五）二次函数与对称变换1．抛物线是一个轴对称图形，抛物线上的每一个点（顶点除外），都可在其对称轴另一侧的图象上找到一个对称点.2．抛物线关于x轴、y轴及原点对称变换后的解析式：①关于x轴对称后：②关于y轴对称后：③关于原点对称后：二次函数基本知识
4、点梳理（六）二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系（数形结合及转化思想的体现）.1．一元二次方程式是二次函数当函数值y=0时的特殊情况.2．二次函数与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，抛物线与x轴交点的个数取决于值的情况.3．不等式（或）的解集，可转化为求抛物线当纵坐标（或）时横坐标的取值范围.真题浅析例1、（江西2012年中考题）如图,已知二次函数与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.(1)写出A、B两点的坐标;(2)二次函数(k≠0),顶点为P.①直接写出二次函数与二次函数有关图象的两条相同的性质;②是否存在实数
5、K,使△ABP为等边三角形?如存在,请求出K的值;如不存在,请说明理由;③若直线与抛物线交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由.解题过程及评分标准：解：（1）依照题意，求抛物线与x轴的交点坐标，可解对应的一元二次方程或转化成其交点式，得点A,B的坐标分别为（1，0）、（3,0）.………2分（2）①二次函数有关图像的两条相同性质：（Ⅰ）对称轴都为直线或顶点的横坐标都为2；……3分（Ⅱ）都经过A（1，0）,B（3,0）两点.……4分②存在实数，使△ABP为等边三角形.……5分要使△ABP为等边三角
6、形，必满足……6分（漏掉一答案，扣1分）……7分∵∵解题过程及评分标准：③线段EF的长度不会发生变化。……8分∵直线∴……9分∵∴∴∴∴线段EF的长度不会发生变化.……10分本题涵盖的主要知识点及数学思想方法：1．通过解一元二次方程确定抛物线与x轴的交点坐标（二次函数与一元二次方程的关系）.2．抛物线相关性质（开口方向、大小、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴交点情况，对称变换等）的探究.3．等边三角形的性质及有关运算.4．点到坐标轴的距离与点横（纵）坐标间的关系.5．同一坐标轴上（或平行于坐标轴的同一条直线上）两点间距离的计算.6．函数图象交点坐标
7、的确定.7．从所需探究的结论（或已知条件）入手，通过分析、运算等手段，得出是否存在满足结论的条件（或所提问题的结论）.体现了由“果”索“因”和由“因”探“果”的思维方式.8.分类讨论的思想.江西2012年中考题的拓展与延伸如图,已知二次函数与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.(1)写出A、B两点的坐标.A(1,0),B(3,0)（2）点C的坐标是，点C关于对称轴对称的点的坐标是.(4,3)(0,3)（3）不等式的解集为.X<1或x>3（4）沿y轴翻折后的抛物线的解析式为.(5)将绕坐标原点旋转后，以旋转前后两抛物线的顶点及与
8、y轴的交点为顶点的四边形的形状是.平行四边形(6)二次函数(k≠0)与y轴交于点D，点D在上的对称点记为点,试判断以为顶点的四边形的形状
