高等数学D12_3齐次方程课件.ppt

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1、齐次方程机动目录上页下页返回结束第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程第十二章一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动目录上页下页返回结束例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)机动目录上页下页返回结束例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.机动目录上页下页返回结束可得OMA=OAM=例

2、3.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:机动目录上页下页返回结束利用曲线的对称性,不妨设y>0,积分得故有得(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)机动目录上页下页返回结束顶到底的距离为h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得机动目录上页下页返回结束(h,k为待

3、*二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k(齐次方程)定常数),机动目录上页下页返回结束求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程机动目录上页下页返回结束例4.求解解:令得再令Y＝Xu,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:机动目录上页下页返回结束得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:作业P2761(1),(4),(6);2(2),(3);3;4(4)第四节目录上页下页返回结束