高等数学教学教学教案（同济六版）11-5 对面积地曲面积分.ppt

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1、第五讲对面积的曲面积分对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念二、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲面积分的计算四、对面积的曲面积分的应用对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念二、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲面积分的计算四、对面积的曲面积分的应用一、对面积的曲面积分的概念（一）引例（二）对面积的曲面积分的定义一、对面积的曲面积分的概念（一）引例（二）对面积的曲面积分的定义曲面壳的质量分割:求和:取极限:取近似:面密度设有一曲面壳,占有空间曲面Σ曲面壳的质量:?一、对面积的曲面积分的概念（一）引例（二）对面积的曲面积分的定义一、对面积的曲面积分的概念（一）

2、引例（二）对面积的曲面积分的定义并作和设曲面Σ是光滑的,函数f(x,y,z)在Σ上有界,定义把Σ任意分成n小块ΔSi(ΔSi同时也代表第i小块的面积),如果各小块曲面直径的最大值λ→0时,这和的极限总存在,记作其中f(x,y,z)称为被积函数,Σ称为积分曲面.是ΔSi上任意取定的一点,设作乘积则称此极限为函数f(x,y,z)在曲线Σ上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.即曲面壳的质量:注(1)(2)函数f(x,y,z)在光滑曲面Σ上连续时,存在.函数f(x,y,z)在闭曲面Σ上的曲面积分记为对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念二、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲

3、面积分的计算四、对面积的曲面积分的应用对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念二、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲面积分的计算四、对面积的曲面积分的应用线性性质可加性不等式在Σ上特别地物理意义与侧无关(S为Σ的面积)对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念二、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲面积分的计算四、对面积的曲面积分的应用对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念二、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲面积分的计算四、对面积的曲面积分的应用定理设f(x,y,z)在曲面Σ上连续,Σ的方程为z=z(x,y)则曲面积分且存在Σ在xoy面上的投影区域为Dxy,

4、z=z(x,y)在Dxy上有连续偏导数,注(1)对面积的曲面积分的计算归结为计算一个二重积分!(2)化为二重积分中的三个变化ΣDxyf(x,y,z)(3)注意:Dxy的面积不为零(4)口诀:一投、二代、三换其它公式Σ：Σ：对面积的曲面积分计算思路明确Σ的方程化为二重积分确定选择一投二代三换积分曲面Σ被积函数面积元素Dxy计算二重积分明确对面积的曲面积分计算思路明确Σ的方程化为二重积分确定选择计算二重积分明确对面积的曲面积分解题模板Σ:……求投影!必须有建议事先求出,可视情省略由得…Σ的方程为:…∴Σ的方程为:…Ｄxy:…Ｄxy由得：……dS=…对面积的曲面积分解题模板对

5、弧长的曲线积分解题模板L:……α≤t≤β参数范围必写!建议事先求出,可视情省略何其相似!由得…L的方程为:…ds=…∴L的方程为:…Σ:…求投影!必须有建议事先求出,可视情省略由得…Σ的方程为:…∴Σ的方程为:…Ｄxy:…Ｄxy由得：……dS=…例1其中是球面被平面截出的顶部.计算曲面积分思考在上题中,若Σ是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则例4例2计算曲面积分:例3计算曲面积分计算曲面积分其中是由平面与坐标面所围成的四面体的表面.例5计算曲面积分其中是介于平面之间的圆柱面对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念二、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲

6、面积分的计算四、对面积的曲面积分的应用对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念二、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲面积分的计算四、对面积的曲面积分的应用曲面壳的质心曲面壳的转动惯量例6计算半径为R的均匀球壳对对称轴的的转动惯量（设面密度ρ=1）.