高等数学教学教学教案(同济六版)10-3 二重积分地在极坐标系下地计算.ppt

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时间:2020-03-28

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1、第三讲二重积分在极坐标系下的计算二重积分在极坐标系下的计算一、引言二、二重积分在极坐标系下的计算三、举例二重积分在极坐标系下的计算一、引言二、二重积分在极坐标系下的计算三、举例一、引言(一)极坐标回顾(二)为何考虑用极坐标计算二重积分一、引言(一)极坐标回顾(二)为何考虑用极坐标计算二重积分Ox极坐标系P极点极轴极径ρθρ极角θ极坐标规定:在极坐标系下:以极点为圆心,ρ0为半径的圆与极轴夹角为θ0的射线上述两曲线的交点极坐标与直角坐标的互化OxP极点极轴ρθ极坐标与直角坐标的互化OxP极轴ρθy1

2、.极坐标化直角坐标极坐标直角坐标2.直角坐标化极坐标直角坐标极坐标3.曲线的直角坐标方程化极坐标方程代入曲线的直角坐标方程.将例化为极坐标方程.将一、引言(一)极坐标回顾(二)为何考虑用极坐标计算二重积分一、引言(一)极坐标回顾(二)为何考虑用极坐标计算二重积分例xyo比较容易定限!若用直角坐标计算,非常不易定限!例若用直角坐标计算,在极坐标系下比较容易积分!计算其中是区域的极坐标表示计算其中是区域与均不能积出!一般地若D为圆或圆的一部分则可以考虑用极坐标计算二重积分.在中f(x,y)中含有或的项

3、二重积分在极坐标系下的计算一、引言二、二重积分在极坐标系下的计算三、举例二重积分在极坐标系下的计算一、引言二、二重积分在极坐标系下的计算三、举例二、二重积分在极坐标系下的计算(一)二重积分计算公式(二)化为累次积分方法(三)小结二、二重积分在极坐标系下的计算(一)二重积分计算公式(二)化为累次积分方法(三)小结将直角坐标系下二重积分化为极坐标系下二重积分1.面积元素dσ的变化在极坐标系下,用一组同心圆ρ=常数及一组射线=常数划分区域D面积元素将直角坐标系下二重积分化为极坐标系下二重积分1.面积元

4、素dσ的变化在极坐标系下,用一组同心圆ρ=常数及一组射线=常数划分区域D面积元素2.被积函数f(x,y)的变化3.积分区域D的变化将积分区域D的边界曲线用极坐标表示极坐标系下二重积分公式二、二重积分在极坐标系下的计算(一)二重积分计算公式(二)化为累次积分方法(三)小结二、二重积分在极坐标系下的计算(一)二重积分计算公式(二)化为累次积分方法(三)小结将极坐标系下的二重积分化为累次积分1.积分次序的选择:一般选择先ρ后θ的次序2.积分限的确定:以先ρ后θ的次序为例先定θ的积分限继续转动,最后与区

5、域D相交时,交点的极角为θ的上限.在区域D的左下侧作从极点出发的射线,逆时针转动,开始与区域D相交时,交点的极角为θ的下限.xoαβαβ将极坐标系下的二重积分化为累次积分1.积分次序的选择:一般选择先ρ后θ的次序2.积分限的确定:以先ρ后θ的次序为例先定θ的积分限再定ρ的积分限xoαβ在θ的上下限之间作从极点出发的射线,穿入区域时,其边界曲线F(ρ,θ)=0所确定的ρ=φ1(θ)为ρ的下限.穿出区域时,其边界曲线G(ρ,θ)=0所确定的ρ=φ2(θ)为ρ的上限.特例1.极点在D的边界上2.极点在D

6、的内部xx二、二重积分在极坐标系下的计算(一)二重积分计算公式(二)化为累次积分方法(三)小结二、二重积分在极坐标系下的计算(一)二重积分计算公式(二)化为累次积分方法(三)小结利用极坐标计算二重积分的步骤考虑是否用极坐标计算化为极坐标系下二重积分积分次序:定限方法:化为累次积分计算累次积分注意对一个变量积分时,将另一个变量视为常数D为圆或圆的一部分f(x,y)中含有或三变、一勿忘积分区域D极坐标表示被积函数面积元素一个勿忘一般先ρ后θ旋转、发射二重积分在极坐标系下的计算一、引言二、二重积分在极坐

7、标系下的计算三、举例二重积分在极坐标系下的计算一、引言二、二重积分在极坐标系下的计算三、举例例1例2例4化下列二次积分为极坐标形式的二次积分例3计算其中是两圆围成的区域.计算其中是圆求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.

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