高等数学教学教学教案（同济六版）10-1 二重积分地概念与性质.ppt

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1、第一讲二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质一、二重积分的概念（一）引例（二）定义一、二重积分的概念（一）引例（二）定义（一）引例1．曲顶柱体的体积z=f(x,y)1)分割.用一组曲线网把D分成n个小区域2)取近似.3)求和.4)取极限.2.平面薄片的质量（一）引例1．曲顶柱体的体积1)分割.用一组曲线网把D分成n个小区域2)取近似.3)求和.4)取极限.2．平面薄片的质量μ(x,y)1)分割.用一组曲线网把D分成n个小块2)取近似.（一）引例1．曲顶柱体的体积1)分割.用一组曲线网把D分成

2、n个小区域2)取近似.3)求和.4)取极限.2．平面薄片的质量1)分割.用一组曲线网把D分成n个小块2)取近似.3)求和.4)取极限.不同点：背景不同几何问题物理问题（一）引例1．曲顶柱体的体积1)分割.用一组曲线网把D分成n个小区域2)取近似.3)求和.4)取极限.2．平面薄片的质量1)分割.用一组曲线网把D分成n个小块2)取近似.3)求和.4)取极限.不同点：背景不同相同点：方法相同分割取近似求和取极限（一）引例1．曲顶柱体的体积1)分割.用一组曲线网把D分成n个小区域2)取近似.3)求和.4)取极限.2．平面薄片的质量1)分割.用一组曲线网把D分成n个小块2)取近似.3)求和.

3、4)取极限.不同点：背景不同相同点：方法相同数学形式相同一、二重积分的概念（一）引例（二）定义一、二重积分的概念（一）引例（二）定义定义设是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D个小闭区域,也表示它的面积.在每个任意分成n个小闭区域当各小闭区域的直径中的最大值存在,则称此极限为函数其中表示第i个上任取一点作乘积并作和如果趋于零时,这和的极限总在闭区域D上的二重积分,记作即积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素òòDdyxfs),(iiniifshxlD=å=®),(lim10.曲顶柱体的体积:平面薄片的质量:若f(x,y)在闭区域D上连续，f(x,y)在D上的二重积分存在.注

4、二重积分仍然是一个数!(1)二重积分仅与(2)被积函数积分区域有关，与区域分法ξi的取法积分变量记法无关(3)二重积分的存在性:(4)二重积分的几何意义:曲顶柱体的体积曲顶柱体体积的负值一般情况曲顶柱体体积的代数和根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：例1二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质性质1性质2性质3(σ为区域D的面积)(线性)(区域可加性)如果在D上，性质4(不等式)推论性质5(估值定理)如果在D上，性质6(中值定理)(σ为区域D的面积)若f(x,y)在闭区域D上连续比较下列积分的大小：1)与D:

5、oyx例22)与D:顶点为A(1，0),B(1，1)C(2，0)的三角形闭区域.ACBD关于坐标轴对称关于x轴对称D1关于y轴对称类似D关于原点对称D1D关于y=x对称D2D1利用对称性简化二重积分的计算