均值不等式知识梳理.doc

《均值不等式知识梳理.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、知识概述　　第六章不等式的性质和算术平均数与几何平均数两部分内容，前一部分中，主要用于讲述实数运算性质和大小顺序之间的关系，从而掌握比较两个实数大小关系的方法；在此基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了证明．不等式的其他性质都可由它们推导出来．第二部分中课本首先证明了一个重要的不等式a2＋b2≥2ab，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理．利用均值不等式求函数的最值问题，这是均值不等式的一个重要应用。最后通过例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用.二、重难点知识选讲1、实数的运算性质与大小顺序之间的关系　　不等式的等

2、价性：两个实数、b比较大小，有大于、等于、小于之别，且有，　　（1）＞b－b＞0；　　（2）=b－b=0；　　（3）＜b－b＜0.　　等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式以及解不等式的主要依据.　　本周学习的另一重点是用作差法比较两实数的大小.　　用作差法比较两实数的大小，其步骤为①作差；②变形；③判断差的正负．在解题中应加强化归意识，把比较大小与实数减法运算联系起来，利用实数的运算性质解决比较大小的问题.例1、已知，b∈R+,求证

3、：n＋bn≥n-1b＋bn-1．（nN）分析：　　比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.证明此题要注意分类讨论。证明：n＋bn－(n-1b＋bn-1)　=(n-1－bn-1)－b(n-1－bn-1)　=(－b)(n-1－bn-1)　若＞b　　若=b(－b)(n-1－bn-1)=0.　若＜b　　综上,≥O,即n＋bn－(n-1b＋bn-1)≥O　∴n＋bn≥n-1b＋bn-1．小结：　　比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平

4、方式的“和”，也可两者并用.2、不等式的性质、推论及证明　　不等式的五个性质和三个推论是不等式这一章的理论依据。　　（1）＞bb＜；（反身性）　　（2）＞b，b＞c＞c；（传递性）　　（3）＞b＋c＞b＋c；（两边同加数号不变）；推论：移项法则.　　（4）；（两边同乘正数号不变）；　　（5）；（两边同乘负数号改变）；推论：去系数法则.　　（6）；（同向相加）　　（7）；（异向相减）　　（8）；（同向相乘）　　（9）；（异向相除）　　（10）＞b（倒数关系）　　（11）＞b＞0n＞bn（nN+）；（不等式的幂）　　（12）＞b＞0（nN+）；（不等式的方根）例2、已知f(x)=p

5、x2－q，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.分析：　　本题可考虑将f(3)写成f(1)，f(2)的线性组合，即f(3)=mf(1)＋nf(2)的形式，然后用不等式的运算性质推算f(3)的取值范围.解答：依题意，有点评：　　（1）这种类型题目常见的错误是：　　由，加减消元得0≤p≤3，1≤q≤7，　　从而得－7≤f(3)＝9p－q≤26，事实上，f(3)不可能取到[－7，26]上的一切值.　　p，q是两个相互联系，相互制约的量，在得出0≤p≤3，1≤q≤7后，并不意味着p、q可以独立地取得区间[0，3]及[1，7]上的一切值，例如p=0，q=7时，

6、p－q=－7已不满足－4≤p－q≤－1.　　（2）依不等式的性质求变量的范围是一种常见的题型，变形不等式时要防止扩大了变量的范围.例3、（1）已知30

7、取等号）通常称为重要不等式．两正数a，b的算术平均数，几何平均数，平方平均数，调和平均数的大小关系为H≤G≤A≤Q（等号当且仅当a=b时取得），这也称作均值不等式.运用重要不等式和均值不等式，可以比较大小，证明不等式，求最值．　　基本不等式有：　　①，；　　　　　②，；　　③，；　　④，；　　⑤，；　　⑥，.例4、已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c=1，求证：分析：　　在不等式证明中，几个正数的和为1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.证明：（1）∵a＋b＋c=