数学模型作业及答案解析.doc

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1、问题1:如果在食饵----捕食者系统中,捕食者掠食的对象只是成年的食饵,而未成年的食饵因体积太小免遭捕获.在适当的假设下建立这三者之间关系的模型,求平衡点.设：我们将食饵与捕食者分别记作x（t），y（t），即x’(t)=rx而捕食者的存在使鱼饵的增长率减小，设减小程度与捕食者的数量成正比，即x’(t)=x(r-ay)=rx-ax.同样对于捕食者y’y(-d+bx)=-dy+bxy问题2:恶狼追兔问题.设有一只兔子和一只狼,兔子位于狼的正西100m处。假设兔子与狼同时发现对方，并开始了一场追逐。兔子往正北60m处的巢穴跑，而狼则在其后追赶。假设兔子

2、和狼均以最大速度匀速奔跑且狼的速度是兔子速度的两倍。问兔子能否安全回到巢穴。解：设，兔子的速度为v，那么兔子回到家所用时间为60/v，狼若想抓住兔子，则应在兔子回家前完成抓捕，并且应走直线。如图：则则狼若恰好在兔子回家瞬间抓住兔子，则狼所使用的时间为116.6/2v。这应是狼所用最长时间，即60/v＞116.6/2v。所以，无论兔子以多快速度回家都会被狼抓住。但是这是理想化模型，实际模型狼的运动模型应为一条曲线，曲线的切线与y轴点焦点为现在兔子的位置。可得方程组{1;Y-y=(dy/dt*dt/dx)(X-x)2:v*t-y=(dy/dt*dt/

3、dx)*(0-x)}（其中x，y为曲线上的点，X，Y为切线上的点）这是一个二阶微分方程，它满足y（100）=0令p=dy/dx，dp/dx=d2y/dx2，代入（4），可得：ln{p+[1+p201/2/2]}=0.5*lnx+c，p（100）=0，所以c=-ln10可得dy/dx=p=（x1/2/10-10/x1/2）/2从而y=（x-300）*x1/2/30+200/3令x=0得y（0）=200/3>60，即曲线与y轴的焦点在兔子的家之后，故在实际中兔子可以顺利回家。