浙江理工大学线性代数综合练习题8套另加参考答案解析.doc

《浙江理工大学线性代数综合练习题8套另加参考答案解析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、线性代数综合练习题（一）一、单项选择题1.对于阶可逆矩阵，，则下列等式中（）不成立.(A)(B)(C)(D)2.若为阶矩阵，且，则矩阵（）.（A）（B）（C）（D）3.设是上（下）三角矩阵，那么可逆的充分必要条件是的主对角线元素为（）.(A)全都非负（B）不全为零（C）全不为零（D）没有限制4.设，，，，那么（）.（A）（B）（C）（D）5.若向量组线性相关，则向量组内（）可由向量组其余向量线性表示.（A）至少有一个向量（B）没有一个向量（C）至多有一个向量（D）任何一个向量6.若，其秩（）.（A）1（B）2（C）3（D）47.若方程中，方程的个数小于未知量的个数，则有（）.（A

2、）必有无穷多解（A）必有非零解（C）仅有零解（D）一定无解8.若为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（）.（A）（B）（C）（D）9.若满足条件（），则阶方阵与相似.（A）（B）（C）与有相同特征多项式（D）与有相同的特征值且个特征值各不相同42二、填空题1.若向量组线性无关，则向量组是线性.2.设为4阶方阵，且，是的伴随阵，则的基础解系所含的解向量的个数是.3.设为阶正交阵，且，则.4.设，，线性相关，则.5.设，则.6.设三阶方阵有特征值4，5，6，则，的特征值为，的特征值为.三、计算题1.计算行列式2.已知矩阵，求.3.设三阶方阵满足，其中，，，求.4.取何值时，非齐次线性

3、方程组（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题1.设为阶可逆阵，.证明的伴随阵.2.若，都是阶非零矩阵，且.证明和都是不可逆的.线性代数综合练习题（一）参考答案42一、单项选择题1.B2.B3.C4.C5.A6.B7.B8.B9.D二、填空题1.无关；2.3；3.1；4.3；5.；6.120，4，5，6，.三、计算题1.解：.2.解：先求的特征值，=，当时，由得，的对应于2的特征向量是，当时，有得，的对应于的特征向量是，当时，有得，的对应于的特征向量是，取..42令，则，所以.3.解：因为，所以，因此.又，所以，故.4.解：，（1）当，即且时，方程组有

4、惟一解.（2）当时，此时，方程组无解，（3）当时，此时，方程组有无限多个解.，并且通解为42.四、证明题1.证：根据伴随矩阵的性质有又，所以，再由于可逆，便有.2.证：假设可逆，即存在，以左乘的两边得，这与是阶非零矩阵矛盾；类似的，若可逆，即存在，以右乘的两边得，这与是阶非零矩阵矛盾，因此，和都是不可逆的.线性代数综合练习题（二）一、选择题1.设是四维列向量，且，，则（）。（A）（B）（C）（D）2.如果为三阶方阵，且，则（）。（A）4（B）8（C）2（D）163.设为阶方阵，且，则（）。（A）中必有两行（列）的元素对应成比例，（B）中至少有一行（列）的元素全为0，（C）中必有一

5、行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合，（D）中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。4.设矩阵、的秩分别为，则分块矩阵的秩满足（）。（A）（B）（C）（D）5.设为阶方阵，是阶正交阵，且，则下列结论不成立的是（）。（A）与相似（B）与等价（C）与有相同的特征值（D）与有相同的特征向量二、填空题421.阶行列式。2.设，，，则。3.设三阶矩阵，满足，且，则。4.设四阶方阵，则。5.设向量组，，线性相关，则。6.设三阶方阵的特征值为1，2，3，则，的特征值为，的特征值为。7.设二次型为正定二次型，则的范围是。三、计算题1.求向量组，，，，的秩与一个最大无关组，并把其

6、他向量用最大无关组线性表示。2.为何值时，方程组有惟一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出方程组的通解。3.三阶实对称矩阵的特征值为，，对应于特征值的特征向量为,求。424.已知二次型，（1）写出二次型的矩阵表达式，（2）用正交变换把化为标准形并写出相应的正交变换。四、证明题1.设为阶方阵，如果存在正整数，使得，证明可逆，并求逆。2.设是阶方阵的特征值，对应的特征向量分别为，证明不是的特征向量。线性代数综合练习题（二）参考答案一、选择题1.C2.A3.C4.A5.D二、填空题（每空3分）1.；2.；3.；4.；5.6.，，6，3，2；7..三、计算题1.解：，所以，是一个最

7、大无关组，并且有42，.2.解：，当，即且时，方程组有惟一解.当时，此时，方程组有无限多个解.，并且通解为，当时，此时，方程组无解.3.解：先求对应于特征值1的特征向量，设是对应于1的特征向量，则有，因而，，为不等于0的任意常数.取，，，令，则有42，因此，.4.解：（1）（2），所以的特征值为，，当时，由得对应于5的特征向量，当时，由得对应于的特征向量，.取，，，令，则为正交矩阵，且，因此，所求的正交变换为，并且四、证明题1.证：所以，可逆，并且.422.证：假设是的对应于的特