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《2019高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题11空间向量在立体几何中的应用练习.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、11 空间向量在立体几何中的应用1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,BB1的中点,则异面直线A1M与AN所成角的大小为 . 解析▶ 以D点为坐标原点,DA、DC、DD1的方向分别为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),M0,12,0,N1,1,12,A1(1,0,1),所以AN=0,1,12,A1M=-1,12,-1.因为AN·A1M=0,所以异面直线A1M与AN所成的角为90°.答案▶ 90°2.已知空间四边形OABC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段
2、MN上,OG=16OA+13OB+13OC,则G点为线段MN的 等分点. 解析▶ ∵OG=16OA+13OB+13OC,∴OG=16OA+23ON,∴OG=13OM+23ON=23(ON-OM)+OM,∴OG-OM=MG=23MN,故G点为靠近N点的3等分点.答案▶ 33.三棱锥S-ABC如图所示,SA⊥AB,SA⊥AC,∠BAC=90°,AB=AC=12AS=2,D点在棱SB上且SD=12DB,P点在棱SA上,则PD·PC的最小值为 . 解析▶ 以A点为坐标原点,AB、AC、AS的方向分别为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示
3、,则A(0,0,0),C(0,2,0),P(0,0,b)(其中0≤b≤4),D23,0,83,PD=23,0,83-b,PC=(0,2,-b),PD·PC=b2-83b,所以当b=43时,PD·PC取到最小值,最小值为-169.答案▶ -1694.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是BD1的中点,M是侧面ADD1A1上一点,若OM⊥AA1且OM⊥BD1,则点M的坐标为 . 解析▶ 以D点为坐标原点,DA、DC、DD1的方向分别为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),M(a,0,b),B(1,1,0),A1(1
4、,0,1),D1(0,0,1),O12,12,12,AA1=(0,0,1),OM=a-12,-12,b-12,BD1=(-1,-1,1).因为OM⊥AA1且OM⊥BD1,所以BD1·OM=0,AA1·OM=0,解得a=1,b=12,所以点M的坐标为1,0,12.答案▶ 1,0,12能力1▶ 利用空间向量法求空间角 【例1】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=2,BD=23,且AC与BD交于点O,E是PB上任意一点.(1)求证:AC⊥DE.(2)已知二面角A-PB-D的余弦值为155,若E为PB的中点,求EC与
5、平面PAB所成角的正弦值.解析▶ (1)∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PD⊥AC.又∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC.∵BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD.∵DE⊂平面PBD,∴AC⊥DE.(2)当E为PB的中点时,连接OE,可得OE∥PD且OE=12PD.又因为PD⊥平面ABCD,所以OE⊥平面ABCD.分别以OA,OB,OE的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,设PD=t(t>0),则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),E0,0,t2,P(0,-3,t),AB=(-1,3,0),AP=(-1
6、,-3,t).易知平面PBD的一个法向量为n1=(1,0,0),设平面PAB的法向量为n2=(x,y,z),则n2·AB=0,n2·AP=0,即-x+3y=0,-x-3y+tz=0,取y=1,得x=3,z=23t,∴n2=3,1,23t.∵二面角A-PB-D的余弦值为155,∴
7、cos
8、=155,即34+12t2=155,∴t=23,∴P(0,-3,23).设EC与平面PAB所成的角为θ,∵EC=(-1,0,-3),n2=(3,1,1),∴sinθ=
9、cos
10、=232×5=155. 利用“向量法”求解空间角时,要注意基向量的
11、选择或坐标系的正确建立等.求线面角时,先求出平面的法向量,再求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角,最后得出线面角.求二面角时,先求出二面角中两个平面的法向量,再求出法向量的夹角,最后求出二面角.如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1.(2)求直线B1C1与平面ADC1所成角的余弦值.解析▶ (1)如图,以AB,AC,AA1为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),B1(2
12、,0,4),C1(0,2,4),∴A1B=(2,0,-4),AD=(1,1,0)
