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1、掌握直线和椭圆位置关系的判定方法/能够利用一元二次方程根与系数之间的关系解决弦长、中点弦和垂直等问题第37课时直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系及判断方法(1)直线和椭圆有三种位置关系：相交、、；(2)直线和椭圆的位置关系的判断：设直线方程：y＝kx＋m，椭圆方程：＝1(a>b>0)，两方程联立消去y可得：Ax2＋Bx＋C＝0，其判别式为Δ＝B2－4AC.当Δ＞0时，直线与椭圆；当Δ＝0时，直线与椭圆；当Δ＜0时，直线与椭圆．相切相离相交相切相离1．点P(4,2)是直线l被椭圆＝1截得的线段的中点，则l的方程是()A．x－2y＝0B．x＋2y－4＝0C．2x＋3y＋4
2、＝0D．x＋2y－8＝0解析：设线段两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＝1①，＝1②，①－②，得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(x1－y2)＝0.③，又(4,2)是AB的中点，∴＝2.即x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.代入③式，得×8(x1－x2)＋×4×(y1－y2)＝0，整理得k＝，则l的方程为y－2＝－(x－4)．∴x＋2y－8＝0.答案：D2．过椭圆3x2＋4y2＝48的左焦点引斜率为1的直线交椭圆于AB两点，则
3、AB
4、等于()解析：由3x2＋4y2＝48得＝1，∴a2＝16，b2＝12，则c＝＝2.过左焦点F(－2,0)斜率为1
5、的直线方程为y＝x＋2，代入3x2＋4y2＝48整理得：7x2＋16x－32＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
6、AB
7、＝(a＋ex1)＋(a＋ex2)＝2a＋e(x1＋x2)＝8＋答案：C3．曲线C：(θ为参数)的普通方程是________，如果直线2x＋y＋a＝0与曲线C有公共点，那么实数a的取值范围是________．解析：则①2＋②2，得4x2＋(y＋1)2＝1，即为曲线C的普通方程，联立方程组由④得2x＝－a－y⑤，把⑤代入③，得2y2＋2(a＋1)y＋a2＝0，若有公共点，则Δ＝22(a＋1)2－4×2×a2＝－4a2＋8a＋4≥0，解得1－≤a≤1＋.
8、答案：4x2＋(y＋1)2＝11－≤a≤1＋4．已知椭圆3x2＋y2＝12，过原点且倾斜角分别为θ和π－θ(0<θ≤)的两条直线分别交椭圆于点A、C和点B、D，则四边形ABCD的面积的最大值等于________，此时θ＝________.解析：本题考查椭圆的对称性和直线方程的点斜式、求最值的方法．如图，设一条直线的斜率为k＝tanθ，则另一条直线的斜率为tan(π－θ)＝－k，则两条直线关于x轴和y轴对称，而椭圆也关于x轴和y轴对称，所以四个点分别关于x轴和y轴对称，四边形ABCD是矩形，且被x轴和y轴平分为四块，一条直线方程为y＝kx，设第一象限的交点为(x1，y1)，则
9、y1＝kx1，∴S四边形ABCD＝x1·y1＝kx，联立方程组消去y得(3＋k2)x2＝12，∴，∴S四边形ABCD＝4k·＝(k∈(0,1])，设t＝＋k(k∈(0,1])，通过求导数可以判断t在k∈(0,1]上是减函数，所以当k＝1，即θ＝时，t有最小值4，此时S四边形ABCD有最大值＝12.答案：12将椭圆方程＝1与y＝kx＋m联立可得到一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0(1)若直线y＝kx＋m过椭圆的右焦点，与椭圆相交于M，N两点，则
10、MN
11、＝
12、FM
13、＋
14、FN
15、＝2a－e(x1＋x2)．【例1】P、Q、M、N四点都在椭圆＝1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知共线，
16、共线，且＝0.求四边形MQN的面积的最小值和最大值．解答：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.又PQ过点F(0,1)，故PQ方程为y＝kx＋1.将此式代入椭圆方程得(2＋k2)x2＋2kx－1＝0.设P、Q两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＝，x2＝从而
17、PQ
18、2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，即
19、PQ
20、＝，(1)当k≠0时，MN的斜率为－，同上可推得
21、MN
22、＝.故四边形面积S＝
23、PQ
24、·
25、MN
26、＝令u＝k2＋，得S＝．因为u＝k2＋≥2，当且仅当
27、k＝±1时，u＝2，S＝，且S是以u为自变量的增函数，所以≤S<2.(2)当k＝0时，MN为椭圆长轴，
28、MN
29、＝2，
30、PQ
31、＝，S＝
32、PQ
33、·
34、MN
35、＝2.综合(1)(2)知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为.变式1.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.(1)求椭圆的方程；(2)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线的方程．解答：(1)设椭圆方程为＝1(a>b>0)．由已知得∴所求椭圆方程为＋y
