若干周期性复合材料结构数学均匀化方法的计算精度.pdf

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1、航空学报ACtaAeronauticaetAstronauticaSinicaMay252015V01．36No51520-1529ISSN1000—6893ON11—1929／Vhttp：／／hkxb．buaa．edu．cnhkxb@buaa．edu．C13DOI：10．7527／S1000一6893．2014．0216若干周期性复合材料结构数学均匀化方法的计算精度邢誉峰*，陈磊北京航空航天大学航空科学与工程学院，北京100191摘要：数学均匀化方法(MHM)一般需要通过有限元方法(FEM)来实现

2、，摄动阶次和单元阶次直接影响计算结果。在解耦格式中，各阶摄动位移是相应阶次的影响函数和均匀化位移导数的乘积。单元阶次的选取取决于影响函数和均匀化位移的精度要求，而摄动阶次的选取则主要依赖于虚拟载荷的性质和均匀化位移各阶导数的计算精度；针对周期性复合材料杆的静力学问题，在施加不同阶次的载荷时，通过选择合适阶次的单元和摄动阶次得到了精确解。使用类似的方法研究了2D周期性复合材料静力学问题，指出了四边固支作为周期性单胞边界条件以及宏观位移求导精度对计算结果将有很大的影响。强调了二阶摄动对数学均匀化方法计算

3、精度的作用；在数值结果中，应用最小势能原理评估了各阶摄动数学均匀化方法的计算精度，数值比较结果验证了结论的正确性。关键词：周期性复合材料结构；数学均匀化方法；摄动阶次；单元阶次；势能泛函中图分类号：V214．8文献标识码：A文章编号：1000—6893(2015)05—1520—10复合材料具有比强度高、比刚度大等优点，广泛应用于航天、航空等工业领域。众所周知，对于很多复合材料的宏观解，如低阶频率和模态，可以使用等应变模型或等应力模型[1]及其他均匀化方法[2]。相对于宏观分析，细观分析要复杂很多。

4、为了在计算精度和效率之间达到平衡，各种多尺度方法相继被提出，例如数学均匀化方法(MHM)[3。4

5、、广义有限单元方法(GFEM)[5省]、多尺度有限单元方法(MsFEM)[7-8]、异类多尺度方法(HMM)[9。1们以及多尺度特征单元方法(MEM)[1卜12]，在这些方法当中，数学均匀化方法具有代表性，很多文献(如文献[13]～文献[21])对该方法都作了详细的阐述。但到目前为止除了笔者发表的文献[22]外，没有其他文献研究在使用该方法时如何选择单元阶次和摄动阶次以满足计算精度的要求。文献[22]研

6、究了单元阶次和摄动阶次对多尺度渐进展开方法(数学均匀化方法之一)计算精度的影响，为单元阶次和摄动阶次的选择提供了依据；应用最小势能原理评估了各阶渐进展开方法的计算精度。本文在文献[22]的研究基础上，详细探讨了一维问题的均匀化位移各阶求导精度与均匀化位移阶次以及单元阶次之间的关系，指出了决定摄动阶次选取的因素，考虑了细观结构更加复杂的单胞模型；强调了摄动小参数和单元阶次对2D周期性复合材料结构计算精度的影响，指出了四边固支作为单胞边界条件对一维问题和二维问题收稿日期：2014—05．21；退修日期：

7、2014．06—27；录用日期：2014-09-05；网络出版时间：2014—09-2314：37网终出版地址：WWW．cnki．net／kcms／doi／10．7527／$1000—6893．2014．0216．htmI基金项目：国家自然科学基金(11172028，11372021)；高等学校博士学科点专项科研基金(20131102110039)；北京航空航天大学基本科研业务费．博士研究生创新基金(YWF-14-YJSY一019)*通讯作者．Tel：010—82319964E—mail：xingy

8、f@buaaedu．cn戡甬撂武iXingYF。ChenL．AccuracyanalysmofmathematicalhomogenizationmethodforseveralperiodicalcompositestructureLJJ．ActaAeronauticaetAstronauticaSinica．2015．36(5)：1520．1529i邢誉峰．睬磊i若f周期性复合材料结构数学均匀化方法的计算精庹[J]．航空学摄．2015．36(5)：1520-1529．邢誉峰等：若干周期性复合材料

9、结构数学均匀化方法的计算精度的不同影响。1解耦数学均匀化方法二维周期性复合材料的控制方程为椭圆型偏微分方程f砉(‰cx，丢(罄+豢))+似，一ot剐：誓破式中：E。。(i，歹，m，咒一1，2)为4阶弹性张量，小参数￡为单胞尺寸和宏观结构尺寸的比值；fl为外载荷；实际位移U。的渐进展开形式是细观尺度和宏观尺度的函数，即“乞(x)=“。0(工)+铡茏(工，y)+e2“象(x，y)+⋯式中：“：：l为由均匀化模型得到的均匀化位移，变量X和Y—xA分别为慢(宏观)尺度和快(微