正定二次型是二次型中一项非常重要的二次型,.ppt

《正定二次型是二次型中一项非常重要的二次型,.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、正定二次型是二次型中一项非常重要的二次型，它在极值问题的研究中有极重要的作用。定义（正定二次型与正定矩阵）设为一个n元二次型，若都有为正定二次型，相应地称A为正定矩阵。则称6.2正定二次型是正定的。不是正定的。因为(0,1,0)=-2<0。定理6.2二次型经过可逆线性变换，其正定性不变。证明设二次型f(x)=xTAx,经过可逆线性变换x=Cy化成了二次型f(y)=(Cy)TACy=yTCTACy若xTAx是正定的，即对任意的有xTAx>0。于是有得因此，二次型f(y)=(Cy)TACy=yTCTACy是正定的。反过来也是对的，故

2、xTAx和yTCTACy有相同的正定性。从定理的证明还可以看出，对于实对称矩阵A，A和CTAC(其中C可逆)有相同的正定性。其中为的单位化特征向量。证（1）A为n阶实对称矩阵，因而A有n个标准定理6.3设n阶实对称矩阵A的全部特征值为:正交的特征向量(分别对应于)组成n维空间的基。(1)(2)当时,（2）设推论实对称矩正定矩阵的充要条件是:A的所有特征值都大于零.证设A为正定矩阵,为任一特征值，为的特征向量，即，由于A正定，则若A的所有特征值都大于零，则其最小的特征值即A正定.，由定理6.3证*A正定，则存在正交矩阵P，使为A的特

3、征值,定理6.4*实对称矩阵A为正定的充要条件是存在可逆合同.矩阵M，使，即，A与I令则M可逆，且若存在可逆矩阵M，使即A为正定矩阵。则注意：不是A正定的充分条件。推论若A正定，则。证为A的r阶（顺序）主子式。我们还有一个利用A的行列式判断正定的充要条件.r阶主子方阵的行列式设n阶方阵定义，称它的左上角的故r阶方阵为正定，因而，。证*设A为正定，则(从略见书)定理6.5实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是当时,求f的最大,小特征值及对应的向量。解例6.6对应的最大,小的特征值为：对应于最大,小特征值的单位特征向量为：例6.7判定二次

4、型的正定性。解用顺序主子式法，f的矩阵为A的各阶主子式为由于A的各阶主子式都大于零，故二次型f为正定的。解为正定二次型。例6.8确定t使（舍去）.∴当时，A正定。例6.9设A与B合同，即存在可逆矩阵C,使则A正定B正定。∴A正定。证设B正定，二次曲面的一般方程为：则二次曲面方程可写成：6.6二次曲面方程的标准方程对A（实对称矩阵），存在正交矩阵P，使作正交变换:其中即这样就消去了二次交叉项，然后再通过配方法将变换中既有平方项又有一次项的一次项消去，就可得到二次曲面的标准方程了。令这是一个单叶双曲面。配方后得消去二次交叉乘积项后的方

5、程为例6.10对配方例6.11消去二次交叉项后方程为令，则这是一个抛物椭圆面。为什么要研究正定二次型?来源于微积分中极值问题的研究。由Taylor定理,在处取得极值的必要条件是:处取得极值的充分条件是:在二元函数的极值问题:则称f为负定二次型,相应地,称A为负定矩阵。定义:对二次型称f为半正定二次型;称f为半负定二次型。定义:对二次型习题六p.1699.(1),(3)10.12.13.