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1、常系数非齐次高阶线性微分方程(以二次方程为例)1、2、Euler方程:可化为常系数情形1一、二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法21、为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式3(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特
2、征方程的k重根时,可设特解4综上讨论注：上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.①5例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为6例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为7例3.求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得所求解为8解例4.则由牛顿第二定律得解得代入上式得92、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解
3、第四步分析原方程特解的特点10第一步利用欧拉公式将f(x)变形11第二步求如下两方程的特解是特征方程的k重根(k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:12第三步求原方程的特解利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程均为m次多项式.13第四步分析因均为m次实多项式.本质上为实函数,14小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.15例5.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解16例6.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得
4、因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为17例7.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:18当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例8质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).(1)自由振动方程：成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.(2)强迫振动方程：19例9求物体的运动规律.解:问
5、题归结为求解无阻尼强迫振动方程当p≠k时,齐次通解:非齐次特解形式:因此原方程④之解为上例中若设物体只受弹性恢复力f和铅直干扰力代入④可得:④20当干扰力的角频率p≈固有频率k时,自由振动强迫振动当p=k时,非齐次特解形式:代入④可得:方程④的解为21若要利用共振现象,应使p与k尽量靠近,或使随着t的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象.可无限增大,若要避免共振现象,应使p远离固有频率k;p=k.自由振动强迫振动对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.22内容小结为特征方程的k(＝0,1,2
6、)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.23思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.(填空)设242.求微分方程的通解(其中为实数).解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为253.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为26二、欧拉方程欧拉方程常系数线性微分方程27欧拉方程的算子解法:则计算繁!28则由上述计算可知:用归纳法可证于是欧拉方程转化为常系数线性方程:29例1.解:则原方程化为亦即其根
7、则①对应的齐次方程的通解为特征方程①30①的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入①确定系数,得31例2.解:将方程化为(欧拉方程)则方程化为即②特征根:设特解:代入②解得A=1,所求通解为32例3.解:由题设得定解问题③则③化为特征根:设特解:④⑤代入⑤得A＝133得通解为利用初始条件④得故所求特解为34思考:如何解下述微分方程提示:原方程直接令35
