《比较与类比》PPT课件.ppt

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1、第十五章比较与类比第一节比较概述与类型1、比较概述比较是人类认识客观事物的一种最基本的思维方法。比如，对事物集合量的最初的认识，正是通过比较认识到事物集合量的“多”或“少”或“同样多”，从而形成等价集合类的概念，最终得到自然数的概念。比较还使我们发现某类事物不同于它类事物的共同的本质属性，从而形成概念，达到对事物更深刻的认识。无论是区分事物的质，还是区分事物的量，都要通过比较这一思维方法才能达到。区分事物的客观基础，就是事物本身所具有的同一性和相异性。因此，我们可以说，比较就是在认识事物的过程中，确定思维对象的相同点和不同点的思维方法，它是其他思

2、维方法如分析综合、抽象概括、归纳演绎等的基础。因此，要有意识地学会比较这一思维方法，把它作为数学思维的重点之一。2、比较类型⑴相同点的比较就是要确定我们的思维对象的共同属性。有些貌似不同的事物，也可能存在一些共同点，这些共同之处往往联系着它们的规律。因此，通过比较寻找相异事物的共同点，可以开拓思路，探索规律，更深刻地认识事物及其相互关系，这类比较方法可以概括为“异中见同”。【例】将四个分数按照由小到大的顺序排列。【分析】这四个分数互不相同，若作通分后比较，将非常麻烦。但经观察比较，得到一个共同特点是，分子总比分母小1。其中：分子相同的分数仅比较分

3、母即可，即由可得到【例】用一条直线将一个长方形分为两等分，有几种画法？【分析】分法是很多的，画出几种并不难，难在需要确定有几种画法。在多种画法中，比较下面这种最特殊的一种画法：即经过矩形两对角线交点——矩形的中心，所画的直线都平分矩形；而且容易由平行截割定理证明其正确性；因此，用一条直线将一个长方形分为两等分，有无数种画法。而经过矩形两对角线交点可作无数条直线；⑵不同点的比较不同点的比较就是要确定思维对象的不同特性。有些貌似相同或十分相似的事物，实际上总是存在着某些差异，即使是相等的事物，也只是彼此不相同、不同一的事物之间的同一。通过比较寻找相同

4、或相似事物的不同点，同样可以开拓思路，探寻规律，更深刻地理解某些概念及其相互关系。这类比较方法可以概括为“同中求异”。【例】下面每组数中，请找出不同类的数来，并说明理由。【解】在⑴组数中，不是自然数。在⑵组数中，⑴1，4，7，，14，17，20，⑵0，1，1.5，3，6，8，16，不是整数。【例】比较合数与偶数的区别。【解】分别从内涵和外延两方面进行比较：【区别】⑴两概念的外延是交叉关系，合数中不含负偶数、0和2，概念内涵外延合数能被1和它自身以外数整除的自然数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，…偶数能被2整除的整数…，-4，-

5、2，0，2，4，6，8，10，12，…而偶数中不含奇合数；⑵两概念的内涵是交叉关系，合数规定能被1和它自身以外数整除，而且是自然数；而偶数规定能被2整除的整数，而且是整数。上述两例都是“同中见异”的比较。“异中见同”和“同中见异”两类比较方法在实际运用过程中，往往是综合进行的，并配合其他思维方法，相辅相成。3、比较方法举例⑴运用比较，掌握数量关系【例1】小营村有耕地面积180亩，其中棉田占总耕地面积的3/5，全村棉田有多少亩?【例2】小营村有棉田面积180亩，棉田占总耕地面积的3/5，全村总耕地有多少亩?【比较】两题的数量关系都没变，都是全村总耕

6、地面积×3/5=全村棉田面积不同的是已知条件与所求问题交换了。⑵运用比较，发现规律【例1】比较一组等式：6÷3=2，60÷30=2，600÷300=2，6000÷3000=2，60000÷30000=2，观察6K÷3K=2再考虑(6×0)÷(3×0)=?总结运算规律：“被除数与除数同时乘以相同的非零数值，商不变。”⑶运用比较，突出概念的内涵和外延概念学习中适当运用变式材料，借助比较，促进理解概念的内涵，那么这个概念的外延也就明确了。①运用比较，辩析易混概念——恰当组织正反对比学习中，从正面揭示概念、法则、公式等，无疑是重要的，但仅仅这样还不够，对

7、一些重要概念和典型问题，应抓住本质进行正反对比，或从反面提出一些问题，进行思索判断，加深理解。②适时归纳已学过的相关概念数学概念体系中，有一些相似概念（如数位和位数、质数与互质数、比和比例、求比值与化简比、方程的解与解方程等），还有一些相近概念（如除尽与整除、数与数字、质数与质因数、计数与记数等），还有一些相反概念（如约数与倍数、扩大与缩小、化法与聚法、正比例与反比例等），都是容易混淆的概念，在复习阶段把这些易混概念放在一起进行对比辩析，归纳注意点，有利于使学习形成分化，达到深化理解的目的。⑷运用比较，开拓解题思路①通过比较、沟通联系，变换思考角

8、度【例】一堆煤用去1200吨，比余下的多1/3，这堆煤原有多少吨?【分析】若按题目的思路进行思考，计算量大：设这堆煤原有x吨，用去120