高中数学 3-3 三角函数的积化和差与和差化积课件 新人教B版必修4.ppt

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1、3．3三角函数的积化和差与和差化积重点：掌握积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简，求值和恒等证明．难点：公式的灵活运用．1．积化和差公式的特点(1)同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半．(2)等式左边为单角α，β，等式右边是它们的和(差)角．(3)如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正；无余弦函数，系数为负．2．和差化积公式的特点(1)同名函数的和或差才可化积；(2)余弦函数的和或差化为同名函数之积；(3)正弦函数的和或差化为异名函数之积；(4)等式左边为单角α和β，

2、等式右边为的形式；(5)只有最后一组的符号为负，其余均为正．3．公式的记忆课标虽然对此二组公式不要求记忆，但记住运用起来总是方便些．这样记忆公式．和差化积公式记忆口诀：“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天．”(正代表sinα，余代表cosα)，供仅参考．4．公式的应用(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；[点评]对于

3、给式求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不能，则再对所求化简，直到找到两者的联系为止．“走一走，看一看”对解此类问题是非常必要的．试图利用已知等式及平方关系分别求取cosα，cosβ，sinα，sinβ的值，导致运算烦琐，难以求解．[例3]在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形[解析]由已知等式得[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝(1＋cosC)，又A＋B＝π－C，所以cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，所以cos(A－B)＝1.又－π

4、

5、通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．解法二：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．解法三：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值．[例5]求函数y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)的最大值．[正解]y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)＝5sin(x＋20°)＋4cos[(x＋20°)＋30°]＝5sin(

6、x＋20°)＋4cos(x＋20°)cos30°－4sin(x＋20°)sin30°[答案]C[答案]D