数学期望与方差.ppt

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1、A、B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局、B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?引例1分赌本问题(产生背景)A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局、B胜1局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局:AAABBABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAABBABBA胜B负A胜B负A胜B负B胜A负B胜A负A胜B负B胜A负B胜A负因此,A能“期望”得到的数目应为而B能“期望”得到的数目,则为故有,在赌技相同的情况下,A

2、、B最终获胜的可能性大小之比为3:1.即A应获得赌金的而B只能获得赌金的因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X的可能值与其概率之积的累加.即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:其概率分别为:第3节数学期望与方差数学期望和方差是常用的随机变量的两个数字特征一、数学期望(mathematicalexpectation)1．数学期望的概念e.g.小组8个人，英语得90分的3人，80分的4人，60分的1人，求平均分数.变除法为乘法和加法Def.1设离散型随机变量的分布律为称为

3、的数学期望或均值Def.2设连续型随机变量的分布密度函数为其数学期望定义为e.g.1甲、乙两人赌博，甲赢的概率为，输的概率为，但甲赢一次可从乙处得3元，而输一次要付给乙1元，求甲的平均赢利。e.g.2某同学假期回家探亲，有三种方法：坐汽车，240元；坐火车，300元；坐飞机，980元．由于各种原因，该同学采用三种路线的概率分别为：0.3,0.5,0.2。试写出差旅费的概率分布，并计算差旅费的平均值。8E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)E(Y).B.数学期望的性质E(aX)=aE(X)E(C)=C当X,Y相

4、互独立时，9性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互独立.反例XYpij-101-1010p•jpi•注10XYP-101但11若X≥0，且EX存在，则EX≥0。推论:若X≤Y，则EX≤EY。证明：设X为连续型，密度函数为f(x),则由X≥0得：所以证明：由已知Y-X≥0，则E(Y-X)≥0。而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)≤E(Y)。12性质2和3性质4例1.设X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y相互独立，求E(3X＋2XY－Y＋5)。解：由已知，有E(X)

5、＝10,E(Y)＝3.例8解但是数学期望不存在的实例设离散型随机变量X的分布律为由于因而其数学期望EX不存在.求EX.2．常见随机变量的数学期望(1)0--1分布(2)二项分布：(3)Poisson分布：(4)正态分布：Remark分布完全描述了随机变量的规律，而期望只刻画了它的一个重要特征——“位置”特征．随机变量以期望为“中心”而随机取值．已知分布律可求均值．但不同的分布可有相同的均值．17例5.用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降，即P{第k次生产出的产品是正品}=假设每次生产100

6、件产品，试求这台机器前10次生产中平均生产的正品总数。解：设X是前10次生产的产品中的正品数，并设18例5.（续）19例6.某厂家的自动生产线，生产一件正品的概率为p(0

7、备在售出的一年内损坏可予以调换.若出售一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元.求厂方出售一台设备净赢利Y的数学期望.解依题设,有某设备寿命X(以年计)服从的指数分布.寿命不超过1年的概率＝出售的设备在售出一年之内调换的概率寿命超过1年的概率＝不需调换的概率因此出售一台设备净赢利Y的分布律为.发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票10万张,每张2元.设头等奖1个,奖金1万元,二等奖2个,奖金各5千元;三等奖10个,奖金各1千元;四等奖100个,奖金各1百元;五等奖1000个,奖金各10元.每张彩票的成本费为0.3元,请计

8、算彩票发行单位的创收利润.解设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为0.5(元).每张彩票平均可赚20.50.31.2(元).如何确定投资决策方向?某人现有10万元