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1、§2第二型曲线积分第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分,这是由于第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关.三、两类曲线积分的联系一、第二型曲线积分的定义二、第二型曲线积分的计算返回一．第二型曲线积分的定义在物理中还遇到过另一种类型的曲线积分问题.例如一质点受力的作用沿平面曲线从点A移动到点B,求力所作的功,见图20-2.为此在曲线内插入个分点一起把有向曲线分成n个有向小曲线段若记小曲线设力在轴方向的投影分别为那么的弧长为则分割的细度为段又设小曲线段在轴上的投影分别为分别为点的坐标.记于是力在小曲线段上所作的功其中为小曲线段上任
2、一点.因而力沿曲线所作的功近似地等于其中当细度时,上式右边和式的极限就应该是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.定义1设函数定义在平面有向可求长度曲线上.对的任一分割它把分成n个小曲线段其中记个小曲线段的弧长为分割的细度又设的分点在每个小曲线段上任取一点若极限存在且与分割T与点的取法无关,则称此极限为函数沿有向曲线L上的第二型的坐标为并记曲线积分,记为或上述积分(1)也可写作或为书写简洁起见,(1)式常简写成或式可写成向量形式若L为封闭的有向曲线,则记为若记则(1)或于是,力沿有向曲线对质点所作的功为若L为空间有向可求长曲线,为定义在L上的函数,则可按上述办法类似
3、地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分,并记为或简写成当把看作三维向量时,(4)式也可表示成(3)式的向量形式.第二型曲线积分与曲线L的方向有关.对同一曲线,当方向由A到B改为由B到A时,每一小曲线段的方向改变,从而所得的也随之改变符号,故有而第一型曲线积分的被积表达式只是函数与弧长的乘积,它与曲线L的方向无关.这是两种类型曲线积分的一个重要区别.类似与第一型曲线积分,第二型曲线积分也有如下一些主要性质:1．也存在,且2.若有向曲线由有向曲线首尾衔接而成,都存在,则也存在,且二．第二型曲线积分的计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算.设平面曲线其中上具有一阶连续导函数,且点的坐标分别为又
4、设上的连续函数,则沿L的第二型曲线积分读者可仿照§1中定理20.1的方法分别证明由此便可得公式(6).对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分(2)的计算,可在L上任意选取一点作为起点,沿L所指定的方向前进,最后回到这一点.例1计算其中L分别沿图20-3中的路线:(i)直线段(ii)(iii)(三角形周界).解(i)直线的参数方程为故由公式(6)可得(ii)曲线为抛物线(iii)这里L是一条封闭曲线,故可从A开始,应用上段加即可得到所求之曲线积分.由于沿直线的线积分为所以的性质2,分别求沿上的线积分然后相沿直线的线积分为所以沿直线的线积分可由(i)及公式(5)得到:例2计算这里L为:(i)沿抛物线
5、的一段(图20-4);(ii)沿直线(iii)沿封闭曲线解(i)(ii)(iii)在OA一段上,一段上,一段上与(ii)一样是的一段.所以(见(ii))沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与(6)式相仿.设空间有向光滑曲线L的参量方程为因此起点为终点为则这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.L是螺旋线:例3计算第二型曲线积分上的一段(参见图20－5).解由公式(7),例4求在力作用下,(i)质点由沿螺旋线所作的功(图20-5),其中(ii)质点由A沿直线所作的功.解如本节开头所述,在空间曲线L上力F所作的功为(i)由于(ii)的参量方程由于所以例5设L为球面和平面的交线,若面
6、对x轴正向看去,L是沿逆时针方向的,求(i)(ii)(i)由对称性，解L的参数方程为因此，(ii)由对称性，*例6设G是R2中的有界闭域，是上的连续可微函数,是在G上的连续函数.则对任意,存在对于任意分割只要必有其中为端点的折线.证由的有界性,存在使得令由P,Q在G的一致连续性,存在使得就有由在上的一致连续性,存在使得就有.任意分割,满足令设为连接与的线段,其斜率为设的方程为则于是设在到的那段曲线为则因此注例6告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来逼近.*三.两类曲线积分的联系在规定了曲线方向之后,可以建立它们之间的联系.的有向光滑曲线,它以弧长s为参数,虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分
7、来自不同的物理原型,且有着不同的特性,但在一定条件下,如于是其中l为曲线L的全长,且点的坐标分别为曲线L上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以分别表示切线方向轴正向的夹角,则在曲线上的每一点的切线方向余弦是上的连续函数,则由(6)式得最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式.注当(9)式左边第二型曲线积分中L改变方向时,积分值改变符号,相应在(9)式右边第一型曲线积分中,曲线上各点的切线方向指向相反的方向(即
