2015年的考研数学二模拟试题4.pdf

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1、模拟考场（十一）考生注意：（１）本试卷共２３大题，满分１５０分．（２）根据国家标准，试卷中的正切函数、余切函数、反正切函数、反余切函数分别用ｔａｎ狓、ｃｏｔ狓、ａｒｃｔａｎ狓和ａｒｃｃｏｔ狓表示．一、选择题（本题共８小题，每小题４分，满分３２分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）１１１（１）设犳（狓）ｄ狓＝犃，则ｄ狓犳（狓）犳（狔）ｄ狔＝∫０∫０∫狓（Ａ）犃２．（Ｂ）１犃２．（Ｃ）１犃２．（Ｄ）１犃２．【】２４８（２）已知犳（狓）在（－δ，δ）内具有二阶导数，且ｌｉｍ犳（狓）＝１，犳″

2、（狓）＞０，则狓→０狓（Ａ）在（－δ，０）内犳（狓）＞狓，在（０，δ）内犳（狓）＜狓．（Ｂ）在（－δ，０）内犳（狓）＜狓，在（０，δ）内犳（狓）＞狓．（Ｃ）在（－δ，δ）内犳（狓）＜狓．（Ｄ）在（－δ，δ）内犳（狓）＞狓．【】ｌｎ［犳（狓＋１）＋ｃｏｓ狓］（３）设函数犳（狓）在狓＝１的某邻域内连续，且ｌｉｍ＝－１，则狓＝１是狓→０槡１－狓２－１犳（狓）的（Ａ）不可导点．（Ｂ）可导点，但非驻点．（Ｃ）驻点，但非极值点．（Ｄ）驻点，且为极值点．【】（４）若犃、犅为非零常数，犆、犆为任意常数，则微分方程狔″＋犽２１２狔＝ｃｏｓ狓的通解应

3、具有形式（Ａ）犆１ｃｏｓ犽狓＋犆２ｓｉｎ犽狓＋犃ｓｉｎ狓＋犅ｃｏｓ狓．（Ｂ）犆１ｃｏｓ犽狓＋犆２ｓｉｎ犽狓＋犃狓ｓｉｎ狓．（Ｃ）犆１ｃｏｓ犽狓＋犆２ｓｉｎ犽狓＋犃狓ｃｏｓ狓．（Ｄ）犆【】１ｃｏｓ犽狓＋犆２ｓｉｎ犽狓＋犃狓ｓｉｎ狓＋犅狓ｃｏｓ狓．（５）设犐＝（狘狓狘＋狔）ｄ狓ｄ狔，其中犇＜｛（狓，狔）∶｜狓｜＋｜狔｜≤１｝，则犐等于犇２１１（Ａ）．（Ｂ）．（Ｃ）．（Ｄ）１．【】３３２狓（６）设犳（狓）在（－∞，＋∞）上连续，且犉（狓）＝犳（狋）ｄ狋，则下述结论正确的是∫０（Ａ）若犳（狓）为单调递增函数，则犉（狓）亦为单调递增函数．

4、（Ｂ）若犳（狓）为单调递减函数，则犉（狓）亦为单调递减函数．６１考研数学模拟考场１５套（数学二）（Ｃ）若犳（狓）为非负函数，则犉（狓）为单调递增函数．（Ｄ）若犳（狓）为有界函数，则犉（狓）亦为有界函数．【】烄１烌００３（７）设三阶方阵犃、犅满足犃－１犅犃＝６犃＋犅犃，且犃＝０１０，则犅＝４１００烆７烎烄１００烌烄３００烌（Ａ）０２０．（Ｂ）０２０．烆００３烎烆００１烎烄１２３烌烄３２１烌（Ｃ）０００．（Ｄ）０００．【】烆０００烎烆０００烎（８）已知向量组α，α，α的秩狉（α，α，α）＝３，则当狉（犪α，犪α，犪α）＝１２３１２３１

5、＋犫α２２＋犫α３３＋犫α１３时，犪，犫满足（Ａ）犪＝犫．（Ｂ）犪≠犫．（Ｃ）狘犪狘＝狘犫狘．（Ｄ）犪＝１，犫＝２．【】二、填空题（本题共６小题，每小题４分，满分２４分．把答案填在题中横线上）２１狀（９）ｌｉｍ（ｃｏｓ）＝．狀→∞狀２１－狓ａｒｃｓｉｎ２ｄ狔（１０）设狔＝２１＋狓，则＝．ｄ狓１２２（１１）交换二重积分次序ｄ狓犳（狓，狔）ｄ狔＝．∫１∫１狓（１２）微分方程狓３２的通解为．狔狔′＝１－狓狔狔′＋狔（１３）设犳（狓）满足ｌｉｍ犳（狓）＝－１，当狓→０时，ｌｎｃｏｓ狓２是比狓狀犳（狓）高阶的无穷小量，而２狓→０狓２ｓｉｎ狓

6、狀狓犳（狓）是比ｅ－１高阶的无穷小量，则正整数狀＝．ａｒｃｔａｎ狓（１４）２２ｄ狓＝．∫狓（１＋狓）三、解答题（本题共９小题，满分９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（１５）（本题满分１０分）已知曲线狔＝ｔａｎ狀狓上点（π，１）处的切线交狓轴于点（，０），求ｌｉｍ狔（ξ狀）．ξ狀４狀→∞６２考研数学模拟考场１５套·模拟考场（十一）（１６）（本题满分１１分）狓１２已知犌（狓）＝ａｒｃｔａｎ（狋－１）ｄ狋，求犌（狓）ｄ狓．∫０∫０（１７）（本题满分１０分）设犳（狓）在［犪，犫］连续，恒正且单调上升．狋∈［犪，犫］，狔＝犳（

7、狓）与直线狔＝犳（犫）及狓＝狋围成的图形面积为犛（狋），狔＝犳（狓）与直线狔＝犳（犪）及狓＝狋围成图形面积为犛（狋）．１２（１）证明：存在唯一的狋０∈（犪，犫）使得犛１（狋０）＝犛２（狋０）；（２）狋取何值时两部分面积之和即犛１（狋）＋犛２（狋）取最小值．６３考研数学模拟考场１５套（数学二）（１８）（本题满分１０分）２设抛物线狔＝犪狓＋犫狓＋犮满足：（１）通过两点（０，０）和（１，２）；２（２）与抛物线狔＝－狓＋２狓所围成图形的面积最小，求犪，犫，犮的值．（１９）（本题满分１１分）（１）设犳（狓）在区间［０，１］上连续，试证明存在

8、（０，１）使ξ∈ξ犳（狋）ｄ狋＝（１－ξ）犳（ξ）．∫０（２）又设犳（狓）＞０且单调减少，则是唯一的．ξ６４考研数学模拟考场１５套·模拟考场（十一）（２０）（本题满分１０分）计算ｓｉｎ狓·ｓｉｎ狔·ｍａｘ｛狓，狔｝ｄ狓ｄ狔，其中犇＝｛（狓，狔）狘