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《2011高考数学总复习 8.7 立体几何中的向量方法课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§8.7立体几何中的向量方法要点梳理1.直线的方向向量与平面的法向量的确定（1）直线的方向向量：在直线上任取一向量作为它的方向向量.（2）平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为非零.基础知识自主学习2.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2，则l1与l2所成的角θ满足.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n，则直线l与平面α所成角θ满足.(3)求二面角的大小①如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直
2、的直线,则二面角的大小θ=.cosθ=
3、cos〈m1,m2〉
4、sinθ=
5、cos〈m,n〉
6、②如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ=.cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉3.点面距的求法如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离d=.基础自测1.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6)，则()A.l1∥l2B.l1⊥l2C.l1与l2相交但不垂直D.以上均不正确解析∵a·b=-12+36-24=
7、0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.B2.已知平面α内有一个点M（1，-1，2），平面α的一个法向量是n=（6，-3，6），则下列点P中在平面α内的是()A.P（2，3，3）B.P（-2，0，1）C.P（-4，4，0）D.P（3，-3，4）解析∵n=（6，-3，6）是平面α的法向量，∴n⊥，在选项A中，=（1，4，1），∴n·=0.A3.已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°解析即〈m,n〉=45°，其补角为135°.∴两平面所成二
8、面角为45°或135°.C4.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为()A.B.C.aD.解析由图易知A（a,0,0）,B（a,a,0）,C（0，a，0），A′(a,0,a).B5.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c与a及b都垂直，则m,n的值分别为()A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2解析由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),故a·c=3m+n+1=0，b·c=m+5n-9=
9、0.A题型一利用空间向量证明平行与垂直如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明：(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.题型分类深度剖析（1）建立空间直角坐标系确定的坐标计算AE⊥CD（2）求面ABE的法向量n判断满足=kn(k∈R）⊥平面ABE或确定坐标计算PD⊥AEPD⊥ABPD⊥平面ABE证明AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=AB=BC=1，则P（0，0，1）.(1)∵∠ABC=60°，∴△ABC
10、为正三角形.(2)方法一方法二证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量法.用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理.若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便.知能迁移1如图所示,平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.求证：PB∥平面EFG.证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形,∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则A(0,0,0
11、)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0).即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1)，题型二利用向量求空间角（2008·海南理，18）如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.(1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解.解如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.则=（1，0，0）
12、，=(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.设=(m,m,1)(m>0),由已知〈〉=60°,（1）异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系.（2）直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由
