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1、一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线第七节偏导数的几何应用三、小结四、作业设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.1.空间曲线的方程为参数方程一、空间曲线的切线与法平面考察割线趋近于极限位置——上式分母同除以割线的方程为切线的过程曲线在M处的切线方程切向量法平面切线的方向向量称为曲线在点M处的切向量.过M点且与切线垂直的平面.解.切线方程法平面方程例1.即设曲线直角坐标方程为法平面方程为2.空间曲线的方程为曲线的参数方程是由前面得到的结果,在M(x0,y0,z0)处,令切线方程为x为参数,两个柱面的交线例2.在抛物柱面与的交线上,求对应的点处的切向量.x为参
2、数,于是解.所以交线上与对应点的切向量为:交线的参数方程为取设空间曲线方程为3.空间曲线的方程为确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组两边分别对表示.)x求全导数:两个曲面的交线利用2.结果,法平面方程为切线方程为在点M(x0,y0,z0)处的解.例3.切线方程和法平面方程.切线方程将所给方程的两边对x求导法一法平面方程法二法三公式法设曲线证.因原点即于是证明此曲线必在以原点为的法平面都过原点,在任一点中心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为故有在法平面上,任取曲线上一点例4.今在曲面Σ上任取一条1.设曲面Σ的方程为的情形隐式方程二、曲面的切平面与法线函数的偏导数在该点连续且
3、不同时为零.点M对应于参数不全为零.过点M的曲线Γ,设其参数方程为由于曲线Γ在曲面Σ上,所以在恒等式两端对t求全导数,并令则得若记向量曲线Γ在点M处切线的方向向量记为则※式可改写成即向量垂直.※因为曲线Γ是曲面Σ上过点M的任意一条曲线,所有这些曲线在点M的切线都与同一向量垂直,因此这些切线必共面,称为曲面Σ在点M的过点M且垂直于切法线,又是法线的方向向量.向量称为曲法向量.切平面,由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面Σ在点M的面Σ在点M的曲面在M(x0,y0,z0)处的法向量:切平面方程为法线方程为所以曲面Σ上在点M的解.令切平面方程法线方程例5.∥2.曲面方程形为的情
4、形曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令或显式方程其中法向量表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与z轴的正向所成的角是锐角,则法向量的方向余弦为注释1：关于因为(第三个分量为负),求旋转抛物面在任意点P(x,y,z)处向上的法向量(即与z轴夹角为锐角的法向量).解.而为向下的法向量故向上的法向量应为:例6.因为曲面在M处的切平面方程:全微分的几何意义表示切平面上的点的竖坐标的增量.切平面上点的竖坐标的增量注释2：例7.解.过直线L的平面束方程为即其法向量为求过直线L且与曲面相切之切平面方程.设曲面与切平面的切点为则因而故所求切平面方程为或
5、即或解.令得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为().旋转面方程为练习空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线三、小结(空间曲线三种不同形式方程的切线与法平面的求法.当空间曲线方程为一般式时,求切向量可采用公式法、推导法或用向量代数法)(注意:空间曲面两种不同形式方程以及求法向量的方向余弦时的符号)四、作业习题6-7(111页)3.4.6.10.
