轮)广西专版课件114导数的应用(第2课时).ppt

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1、统计、导数及其应用第十一章11.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间［-2，2］上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.题型3利用导数研究函数的最值第二课时11.4导数的应用2解：(1)f′(x)=-3x2+6x+9.令f′(x)＜0，解得x＜-1或x＞3，所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)∪(3，+∞).(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a，f(2)=-8+12+18+a=22+a，所以f(2)＞f(-2).因为在(-1，3)上，f′(x)＞0，所以f(x)在［-1，2］上单调递增.3又由于f(

2、x)在［-2，-1］上单调递减，因此，f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间［-2，2］上的最大值和最小值.于是有22+a=20，解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2.因此f(-1)=1+3-9-2=-7.即函数f(x)在区间［-2，2］上的最小值为-7.点评：求函数在指定区间［a，b］上的最值，一般先求区间［a，b］上的极值点，然后比较极值点与区间端点函数值的大小.4函数f(x)=-3x4+6x2-1在［-2，2］上的最大值为()A.-1B.0C.-25D.2解：令f′(x)=-12x3+12x=0，解得x=0或x=±1，又f(±2)=-25，f(±1)=2，f(0

3、)=-1，所以［f(x)］max=2，故选D.D52.已知函数f(x)=x4-4x3+mx2-1在区间［0，1］上是增函数，在区间［1，2］上是减函数，而g(x)=nx-1.若方程f(x)=g(x)恰好有四个不等的解，求n的取值范围.解：易得f′(x)=4x3-12x2+2mx，由单调性得f′(1)=0，所以m=4.从而由f(x)=g(x)得x=0或n=x3-4x2+4x，(*)可得(*)式有三个不为0的不等根.题型4利用导数研究函数的图像6所以0＜n＜,即n的取值范围为(0，).设y1=n,y2=x3-4x2+4x,则两函数y1、y2的图象有三个不同的交点,又y′2=3x2-8x+

4、4=(3x-2)(x-2)=0,所以x=或x=2,易得x=时,y2取极大值,为;x=2时,y2取极小值,为0.所以函数y1、y2的图象为：7点评：方程解的问题可以转化为函数图象交点问题，通过导数研究函数图象的性质，再结合图象的性质观察交点情况，由图象直观地得出相应的结论，这既体现了函数与方程思想，又体现了数形结合思想.8求函数f(x)=x3-x2-x+2的图象与x轴的交点的个数.解：f′(x)=3x2-2x-1，令f′(x)=0，解得x=-或x=1.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表：x(-∞,-13)-13(-13,1)1(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极

5、大值极小值9又f(-)=，f(1)=1.故可得f(x)的大致图象如下:由此可知，f(x)的图象与x轴只有一个交点.10题型5导数在实际问题中的应用3.(2011×江苏卷)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x(cm)．(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时

6、包装盒的高与底面边长的比值．1112(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800，所以当x=15时，S取得最大值．1314点评：本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用，属中档题．15某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8%，且银行吸收的存款能全部放贷出去.求：(1)若存款的利率为x,x∈(0，0.048),试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)的函数表达式；(2)存款利率定为多少时,银行可获得最大收益

7、？解：(1)由题意，存款量g(x)=kx2，银行应支付的利息h(x)=x·g(x)=kx3.16(2)设银行可获得收益为y，则y=0.048·kx2-kx3，所以y′=0.096kx-3kx2，令y′=0，即0.096kx-3kx2=0，解得x=0，或x=0.032.又当x∈(0，0.032)时，y′＞0，x∈(0.032，0.048)时，y′＜0，所以y在(0，0.032)内单调递增，在(0.032，0.048)内单调递减.故当x=0.032时，y在(0