2011步步高3[1]4__导数的综合应用.ppt

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1、要点梳理1.曲线的切线方程点P(x0,f(x0))在曲线y=f(x)上,且f(x)在(x0,f(x0))处存在导数,曲线y=f(x)在点P处的切线方程为_____________________.2.函数的单调性(1)用导数的方法研究函数的单调性往往很简便,但要注意规范步骤.求函数单调区间的基本步骤是:基础知识自主学习§3.4导数的综合应用y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)①确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);③由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是______;当f′(x)<0时,f(x)在相

2、应的区间上是_______.还可以通过列表,写出函数的单调区间.(2)在利用导数研究函数的单调性时,我们往往应用以下的充分条件：设函数f(x)在(a，b)内可导，若f′(x)>0(或f′(x)<0),则函数f(x)在区间(a,b)内为增函数(或减函数);若函数在闭区间［a,b］上连续,则单调区间可扩大到闭区间［a,b］上.增函数减函数3.函数的极值求可导函数极值的步骤求导数f′(x)→求方程________的根→检验f′(x)在方程根左右值的符号,求出极值(若左正右负,则f(x)在这个根处取极大值;若左负右正,则f(x)在这个根处取极小值).4.函数的最值求可导函数在［a,

3、b］上的最值的步骤求f(x)在(a,b)内的极值→求f(a)、f(b)的值→比较f(a)、f(b)的值和_____的大小.f′(x)=0极值5.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.基础自测1.已知曲线C:y=2x2-x3,点P(0,-4),直线l过点P且与曲线C相切于点Q,则点Q的横坐标为()A.-1B.1C.-2D.2解析A2

4、.函数f(x)=xcosx的导函数f′(x)在区间[-π,π]上的图象大致是()解析∵f(x)=xcosx,∴f′(x)=cosx-xsinx.∴f′(-x)=f′(x),∴f′(x)为偶函数,∴函数图象关于y轴对称.由f′(0)=1可排除C、D选项.而f′(1)=cos1-sin1<0,从而观察图象即可得到答案为A.A3.已知函数f(x)=xm+ax的导数f′(x)=2x+1,则数列(n∈N*)的前n项和为()解析∵f′(x)=mxm-1+a=2x+1∴f(x)=x2+x∴f(n)=n2+n=n(n+1)C4.a、b为实数，且b-a=2，若多项式函数f(x)在区间(a,b

5、)上的导函数f′(x)满足f′(x)<0,则以下式子中一定成立的关系式是()A.f(a)f(b-)C.f(a+1)>f(b-1)D.f(a+1)>f(b-)解析因为f(x)在区间(a,b)上的导函数f′(x)满足f′(x)<0,故f(x)在区间(a,b)上单调递减,故f(a+1)>f(b-),故选B.B5.函数y=f(x)在其定义域内可导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为__________.解析由函数y=f(x)在定义域内的图象可得,函数y=f′(x)的大致图象如图所示.由图象可得不等式f′

6、(x)≤0的解集为题型一函数的极值与导数【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间;(2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.(1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关于y轴对称可求m,n.由f′(x)>0及f′(x)<0可求单调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论.题型分类深度剖析思维启迪解(1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),得m-n=-

7、3.①由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.而g(x)的图象关于y轴对称,所以所以m=-3.代入①得n=0.于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)>0得x>2或x<0,故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞);由f′(x)<0,得0