2012年高三数学总复习导与练 第六篇第二节配套课件（教师用） 理.ppt

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1、第2节　等差数列1．等差数列的概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，其符号语言为an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．(2)等差中项质疑探究：如何用函数的观点认识等差数列{an}的通项公式an及前n项和Sn?提示：(1)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，d≠0时，an是n的一次函数．当d>0时，{an}为递增数列，当d<0时，{an}为递减数列，当d＝0时，{an}为常数列．2．(教材改编题)设{an}是等差数

2、列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}的前8项和为(C)(A)128(B)80(C)64(D)563．数列{an}中，a1＝15，an＋1＝an－2(n∈N*)，则使该数列的前n项和Sn取得最大值的n为(B)(A)7(B)8(C)9(D)6解析：由已知，数列{an}为等差数列，其公差为－2，所以an＝15＋(n－1)×(－2)＝17－2n，由于a8>0，a9<0，且{an}是递减数列，所以前8项和最大，故选B.4．(2009年高考山东卷)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.解析：∵a5＝a2＋6，又a5＝a2＋(5－2)d，∴d＝2，

3、∴a6＝a3＋(6－3)d＝7＋3×2＝13.答案：13等差数列的判定与证明【例1】已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p、q∈R，且p、q为常数)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列；(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．思路点拨：(1)直接运用定义求解；(2)视an＋1－an为一整体再用定义证明即可．(1)解：an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，要使{an}是等差数列，则2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0.故当p＝0，q∈R且q为常数时，数列

4、{an}是等差数列．(2)证明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数．∴{an＋1－an}是等差数列．(1)判断或证明一个数列是否为等差数列，通常用定义法，即只需判断an＋1－an＝d(常数)是否成立．除此之外，还有时用等差中项法，即若有2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，则{an}为等差数列．(2)解答选择题或填空题时，还可利用通项公式或前n项和公式进行直接判断．若通项an为n的一次函数，即an＝An＋B(A≠0)，则{an}为等差数列．若前n项和Sn＝An2＋Bn，则

5、{an}为等差数列．等差数列中的基本运算【例2】(2010年高考辽宁卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.思路点拨：欲求a9，可由已知列出关于a1和公差d的方程组，求出a1和公差d即可．等差数列性质的应用【例3】(2010年高考全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于()(A)14(B)21(C)28(D)35思路点拨：可利用等差中项得出a4，再利用性质a1＋a7＝a2＋a6＝…＝2a4求解．解析：∵a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a

6、4＝28，故选C.在等差数列有关计算问题中，结合整体思想，灵活运用性质会获得事半功倍的效果．思路点拨：(1)利用点在函数图象上代入即可得an与an＋1的关系，易求得an.(2)可先求bn，利用累加法或迭代法求得，而后作差比较即可，也可不用求bn而直接利用已知关系式迭代求证即可．(1)解：由已知得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，又a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．故an＝1＋(n－1)×1＝n.法二：因为b1＝1，bn·bn＋2－bn＋12＝(bn＋1－2n)(bn＋1＋2n＋1)－bn＋12＝2n＋1·bn＋1－2n·bn＋1－2n·2n＋

7、1＝2n(bn＋1－2n＋1)＝2n(bn＋2n－2n＋1)＝2n(bn－2n)＝…＝2n(b1－2)＝－2n＜0，所以bn·bn＋2＜bn＋12.数列与函数、不等式结合命题是高考考查的热点，求解数列问题时要看清函数作为载体的作用，在证明数列中的不等式问题时，要灵活采用证明不等式的常用方法，如比较法、放缩法等．【例题】(2010年高考福建卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()(A)6(B)7(C)8(D)9解析：记{an}的公差为d.∵a