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《2013届高考数学理一轮复习课件：7.8立体几何中的向量方法人教A版.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第八节立体几何中的向量方法三年16考高考指数:★★★1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)；4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．1．利用直线的方向向量和平面的法向量证明线线垂直和解决空间角问题是高考的热点；2．本节的重点是利用向量法求空间角，难点是正确地进行计算；3．多以解答题的形式出现，综合考查空间想象能力、运算能力和数形结合的
2、思想.1.直线的方向向量和平面的法向量定义确定直线的方向向量平面的法向量与平面_____的任何一个向量都可作为平面的法向量．显然一个平面的法向量也不唯一．如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l或,则称此向量为直线l的方向向量.平面的法向量可利用方程组求解，设是平面α内两个不共线的向量，为平面α的法向量，则求法向量的方程组为在直线上任取两点，这两点确定的向量即可为直线的方向向量．垂直平行重合【即时应用】(1)思考：在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非
3、零解，即可作为法向量的坐标．(2)若是平面α内的三点，设平面α的法向量n=(x,y,z)，则x∶y∶z=______.【解析】由得所以x∶答案：2∶3∶(-4)2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为l1∥l2l1⊥l2直线l的方向向量为平面α的法向量为l∥αl⊥α平面α,β的法向量分别为α∥βα⊥β【即时应用】(1)若平面α,β的法向量分别为a=(－1,2,4)，b=(x，-1，-2)，并且α⊥β，则x的值为______．(2)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则直
4、线l1,l2的位置关系是______．【解析】(1)由α⊥β得，解得x＝－10.(2)由=2×(-6)+4×9+(-4)×6=0得a⊥b，从而l1⊥l2．答案：(1)－10(2)l1⊥l23.空间角的向量求法(1)异面直线所成角的求法设a、b分别是两异面直线l1,l2的方向向量l1与l2所成的角θ范围求法(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ=
5、cosθ
6、=________.(3)二面角的求法①如图a，AB、CD是二面角α-l-β的两
7、个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ=_______.②如图b、c，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ=______________或______________.cos〈n1，n2〉-cos〈n1，n2〉【即时应用】(1)已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m,n〉=，则l与α所成角的大小为______．(2)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为______．【解析】
8、(1)由于cos〈m,n〉=，∴〈m,n〉=120°，所以直线l与平面α所成的角为30°.(2)建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，∴答案：(1)30°(2)4．点到平面的距离的向量求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d=________.【即时应用】(1)思考：如何推导点到平面的距离公式？提示：在Rt△BOA中,(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截
9、面AB1D1的距离是______．【解析】如图，建立坐标系Dxyz，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，=(-2,0,4),=(0,2,4),=(0,0,4),设平面AB1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得，令z=1，则n＝(2,－2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d，则d＝答案：利用空间向量证平行、垂直【方法点睛】1.用向量证平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向
10、量平行.(3)面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题.2．用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积
