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1、第四节函数的极值及求法内容提要极大值和极小值教学要求1.理解函数极值的概念；2.掌握求函数的极大值和极小值方法观察下列图形函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点x称为极值点.0定义一.函数的极值(2)函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小值,其中有的极大值可能比极小值还小.(如图)Oxyaby=f(x)注意:(1)函数的极值f(x0)是一个局部性概念,它只描述函数在某点x0近旁的变化状态.设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值那么必定有定理(极值的必要条件)二、函数极值的判别法注意1:如：可导函
2、数的极值点驻点xyo连续函数f(x)的可能极值点只能是其驻点(不可导点)注意2:左正右负极大左负右正极小左右同号无极值极值的判定法则Ⅰ设f(x)在点连续,在点的某一空心邻域内可导,当x由小增大经过时,如果(2)由负变正,那么是极小值点;(3)不变号,那么不是极值点.(1)由正变负,那么是极大值点;例1求的极值令得驻点显然有极小值,极大值解：函数定义域为列表,－0＋0－1－3极小极大↘↗↘例2求函数内的极值令,解之得在(0，2π)内的三个根∴极小值解：,极大值＋0－0－0＋↗极大↘无↘极小↗解列表讨论不存在例3极值的判定法
3、则Ⅱ注意：当时,法则Ⅱ失效,用法则Ⅰ判定例4求函数的极值令,得,所以为极大值；,所以为极小值.解：由于由于说明：对极值判定法则Ⅰ、法则Ⅱ的选用一般遵从：如果易求,用法则Ⅱ简单些,但法则Ⅰ对驻点处极值的判定不会有失效的情形,具有通用性,只不过有时的变号不易分析而已,当然,也可将法则Ⅰ、法则Ⅱ并用.求极值的步骤:1.极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.2.函数的极值必在驻点或尖点(不可导点)取得.判别法法则Ⅰ;法则Ⅱ;(注意使用条件)小结第五节函数的最大值与最小值由闭区间上连续函数的性质可知：
4、闭区间[a,b]上的连续函数f(x)一定存在着最大值和最小值.显然,函数在闭区间[a,b]上最大值和最小值只能在区间(a,b)内的极值点和区间端点处达到.因此,可直接求出一切可能的极值点(包括驻点和不可导点)和端点处的函数值,比较这些数值的大小,即可得出函数的最大值和最小值.函数的最大值与最小值可统称为函数的最值,最值与极值区别在于：极值是反映函数值局部性质的概念,最值是反映函数值的整体性质的概念.步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注
5、意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),如图闭区间上连续函数的最值的求法xyoabxyabo例求函数最大值与最小值,求得在[－3，3]上的驻点,最小值为解:令上的最大值为显然：由于在区间[－3，3]上的实际问题(请看教材81~83页的例子)求最值的步骤.(1)建立目标函数;(2)求最值;作业:P71页.23
