[考研数学]北京航天航空大学线性代数5-b.ppt

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1、主要内容点播一.矩阵的相似标准形二.特征值与特征向量一.矩阵的相似标准形引言对n阶方阵A及可逆矩阵P,由于矩阵乘法不满足交换律,一般情形下P1AP不一定等于A.但对P1AP与A而言,在许多地方性质相同.行列式相等:

2、P1AP

3、=

4、P1

5、

6、A

7、

8、P

9、=

10、A

11、.因此P1AP与A或者都可逆,或都不可逆.称P1AP与A相似,当然会有很多矩阵与A相似,最简单的是什么矩阵？(相似标准形问题)定义设A、B为两个n阶矩阵，如果存在一个满秩阵P，使得则称A与B相似，记为A∽B.相似变换：对A作运算P1AP(P

12、满秩)相似关系的等价性矩阵之间的相似关系是一种等价关系.(1)自反性A∽A;E1AE=A.(2)对称性A∽BB∽A;P1AP=BA=PBP1.(3)传递性A∽B且B∽CA∽C.P1AP=B且Q1BQ=C(PQ)1A(PQ)=C.问题：与矩阵A相似的矩阵中最简单的矩阵是什么？对单位矩阵E与任何可逆矩阵P,都有P1EP=E,P1kEP=kE.1.单位矩阵只能同单位矩阵相似.2.数量矩阵也只相似于数量矩阵.比这两类矩阵简单的矩阵是对角矩阵,A能否相似于一个对角矩阵呢？若上式成立,λi满足

13、什么条件呢？若记P=(P1,P2,…,Pn)(列向量),代入得即若能用相似变换将A化为对角矩阵,则满秩矩阵P的每个列向量必满足且p1,p2,…,pn线性无关.二.特征值与特征向量定义设A是n阶方阵,若有数和n维非零列向量x,使Ax=x成立.则称为矩阵A的特征值.非零列向量x称为A的属于(或对应于)特征值的特征向量.问题：对任何方阵A,是否有特征值呢?A有特征值时，如何求出它的全部特征值和全部特征向量呢?重点重点重点重点重点难点1.矩阵A=(aij)nn的特征值和特征向量若Ax=λx,则xAx

14、=(EA)x=0.(1)由x是非零向量,说明齐次线性方程组(EA)x=0有非零解,(1)有非零解即特征值满足

15、λEA

16、=0.定义设A为n阶矩阵,EA称为A的特征矩阵，

17、EA

18、称为A的特征多项式,

19、EA

20、=0称为A的特征方程,

21、EA

22、=0的根即为A的特征值(特征根).特征多项式的特征没有写出的各项的最高次数为n-2:若某项含有aij,则不会含有(aii)与(ajj).因此可得当=0时定义tr(A)=a11+a22+…+ann称为A的迹.计算n阶矩阵A的特征值与特征向

23、量的步骤:1.解特征方程

24、EA

25、=0,求出n个特征值(r重根算r个);2.对每一i,求(iEA)x=0的非零解xi是属于i的特征向量.重点例1求三阶方阵的特征值和特征向量.解：特征方程所以A的特征值为1=2,2=3=1.对1=2,解齐次方程组(2EA)x=0,即一般解为取基础解系得A的属于λ1=2的全部特征向量为k(0,0,1)(k0).对2=3=1,解齐次线性方程组(EA)x=0,即由得一般解为取基础解系因此A的属于2=3=1的全部特征向量是k(1,2,1),(k

26、0).例2求矩阵的特征值和特征向量.解：特征方程B的特征值为1=2=1,3=5.对二重特征值=1，解方程组(EB)x=0,即即一般解为基础解系为因此属于=1的全部特征向量为k1,k2不同时为零.对3=5,解方程组(5EB)x=0,即由得一般解取基础解系为因此B的属于=5的全部特征向量为k0为常数.上面两个例子中,特征方程的单根的线性无关的特征向量为1个,二重根可以是一个也可以是两个.都不超过特征根的重数.例3若A2=A,称A为幂等矩阵,证明幂等矩阵的特征值只可能是0和1.证明

27、设0是A的特征值,x是A的属于0的特征向量,则由于即而x0,得注意：0和1不一定同时是幂等矩阵的特征值,比如E是幂等矩阵,但其特征值只有1.2.有关特征值的几个定理定理2.1相似的矩阵具有相同的特征多项式,也有相同的特征值.证明:设A∽B,则存在可逆矩阵P,使得B=P-1AP.因此注意其逆命题不一定成立(有相同特征多项式的矩阵不一定相似)例如任一矩阵与其转置矩阵有相同的特征多项式,因此也有相同的特征值.(EA)=EA

28、EA

29、=

30、(EA)

31、=

32、EA

33、.定理2.2若A是分块

34、矩阵,即其中Ai(i=1,2,…,s)是方阵,则A的特征多项式是A1,A2,…,As的特征多项式的乘积.因此A1,A2,…,As的所有特征值就是A的全部特征值.重点会背定理2.3设n阶矩阵A的特征值为1,2,…,n(k重根算k个),则证明令=0,得而从定理可以看出,若A的特征值有一个为零,则

35、A

36、=0.反之亦成立.推论矩阵A可逆A的特征值全不为零.定理2.4若n阶可逆方阵A的特征值为1,2,…,n，则A1的特