§2线性相关性的结论、极大线性无关组.ppt

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1、§2线性相关性的结论、极大线性无关组一、线性相关性的结论二、极大线性无关组三、向量组的线性表示与等价一、线性相关性的结论定理1若向量组线性无关，而向量组线性相关，则可由向量组唯一线性表示.证明：于是有线性相关，线性表示.向量可由假设有两个不同的线性表示，即（再证唯一性）线性无关.两式相减，得.线性表示，则推论1若向量可由表示式唯一的充要条件是线性无关.证明：（必要性）（反证法）线性相关.则存在不全为零的数使线性表示.向量可由是不全为零的数.这与已知相矛盾！所以假设不成立.线性无关.设有向量与向量组，则推论21)当时，唯一线性表示.向量可由2)当时

2、，线性表示但不唯一.向量可由3)当时，线性表示.向量不能由问当取何值时，例1.设唯一线性表示.i)向量可由线性表示，但不唯一.ii)向量可由线性表示.iii)向量不可由因为解：所以唯一线性表示.向量可由线性表示，但不唯一.向量可由线性表示.向量不可由某一部分组线性相关　原向量组线性相关.定理2(部分相关，整体相关)推论(整体无关，部分无关)设定义1.接长向量向量组线性无关　任一部分组皆线性无关.称是　的接长向量.定理3(无关组添加分量仍无关)推论(相关组减少分量仍相关)无关向量组减少分量可能变成相关向量组；相关向量组增加分量可能变成无关向量组.注

3、：若k维向量组线性无关，则接长向量组也线性无关.若k+l维向量组线性相关，则缩短向量组也线性相关.定理2、3的解析图相关组相关组相关组加向量减分量无关组无关组减向量加分量无关组i)线性无关；极大线性无关组，简称极大无关组.一个部分组若满足定义2为一个向量组，它的设线性表示；ii)对任意的可由,二、极大线性无关组则称为向量组的一个（无关性）（极大性）线性相关.1）定义中ii)与下面的ii)'是等价的2）对向量组的讨论归结为对其极大无关组的讨论.4）n维单位坐标向量组是所有n维向量组成的向量组的一个极大无关组.3）任何含有非零向量的向量组一定有极大无

4、关组.注：ii)'对任意的,例3.设求向量组的一个极大线性无关组.注：1）求极大无关组的方法.2）一个向量组的极大无关组不是唯一的.例4求向量组的极大无关组.解：作矩阵对矩阵A作初等行变换化行阶梯形（或行最简形）由矩阵B知　　　　线性无关且为极大无关组.定义3三、向量组的线性表示与等价向量组等价.若向量组中每一个向量若两个向量组可以互相线性表示，则称这两个可由向量组线性表示；皆可由向量组线性表示，则称向量组1）向量组和它的任一极大无关组等价.2）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.3）一个向量组的任意两个极大无关组都等价.注4）向量组之间的

5、等价关系具有：①反身性②对称性③传递性推论1若向量组可由线性表示，则可由线性表示的充要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩.判别定理定理4推论2与等价的充要条件是推论3若向量组可由推论5若与等价，且它们线性表示，且则线性相关.推论4若向量组可由线性表示，且线性无关，则都线性无关，则推论6一个向量组的任意两个极大无关组所含的向量的个数相同.例4判断与是否等价.例5与等价的充要条件是作业P105习题36、15