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1、多变量最优化例：竞争性产品生产中的利润最大化一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸液晶平板电视机，制造商建议零售价为339美元；另一种21英寸液晶平板电视机，零售价为399美元。公司付出的成本为19英寸彩电每台195美元，21英寸彩电每台225美元，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销售，反之亦然。据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸彩电，21
2、英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。问题是：每种彩电应该各生产多少台？变量：x=19英寸彩电的售出数量（每年）y=21英寸彩电的售出数量（每年）p=19英寸彩电的销售价格（美元）q=21英寸彩电的销售价格（美元）R=彩电销售的收入（美元/年）C=生产彩电的成本（美元）P=彩电销售的利润（美元/年）提出问题：假设：目标：最大化利润函数P解得全局极大值点建立模型：求解模型：选择建模方法无约束多变量最优化问题回答问题：这家公司可以通过生成4735台19英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润为553641美元，每台19英寸彩电的平均售价为270.52美元，
3、每台21英寸彩电的平均售价为309.63美元。生产的总支出为2908000美元，相应的利润率为19%。因此建议这家公司应该实行推出新产品的计划。计算机代数系统--matlab>>[x,y]=meshgrid(0:400:10000,0:400:10000);>>z=(339-0.01*x-0.003*y).*x+(399-0.004*x-0.01*y).*y-(400000+195*x+225*y);>>mesh(x,y,z)>>symsxy>>z=(339-0.01*x-0.003*y).*x+(399-0.004*x-0.01*y).*y-(400000+195*x+2
4、25*y);>>dzdx=diff(z,x)>>dzdy=diff(z,y)>>s=solve(‘-1/50*x+144-7/1000*y=0','-7/1000*x-1/50*y+174=0','x','y')>>subs(z,{x,y},[s.x,s.y])灵敏性分析在向公司报告结论之前，应对我们关于彩电市场和生产过程所做的假设进行灵敏性分析，以保证结果具有稳健性。对19英寸彩电的价格弹性系数a的灵敏性进行分析.我们主要关心的是决策变量x和y的值，因为公司要据此来确定生产量。求偏导数并令其为零，可解得可画出x和y关于a的曲线图.19英寸彩电的价格弹性系数a的提高，会导致
5、19英寸彩电的最优生产量x的下降，及21英寸彩电的最优生产量y的提高。而且，图中显示x比y对于a更敏感。计算可得，在a=0.01时，有如果将19英寸彩电的价格弹性系数提高10%，则我们应将19英寸彩电的生产量缩小11%，21英寸彩电的生产量扩大2.7%.计算可得，在a=0.01时，有考虑y对于a的灵敏性。因此，19英寸彩电的价格弹性系数提高10%，会使利润下降4%.>>symsa>>z=(339-a*x-0.003*y).*x+(399-0.004*x-0.01*y).*y-(400000+195*x+225*y)>>dzdx=diff(z,x)>>dzdy=diff(z,
6、y)>>s=solve('-2*a*x+144-7/1000*y=0','-7/1000*x-1/50*y+174=0','x','y')>>dxda=diff(s.x,a)>>sxa=dxda*a/s.x>>a=0.01>>eval(sxa)Matlab优化函数functiony=tvsell(x)y=-(339-0.01*x(1)-0.003*x(2))*x(1)-(399-0.004*x(1)-0.01*x(2))*x(2)+(400000+195*x(1)+225*x(2));1）建立目标函数的m-文件2）求解>>x0=[0,0];>>[x,yval]=fminun
7、c(‘tvsell’,x0)无约束多变量函数极小fminunc如果在求极值时使用函数的梯度，则在目标函数的m-文件中应有两个输出，第二个输出为目标函数的梯度向量.>>x0=[0,0];>>options=optimset(‘gradobj’,‘on’);>>[x,yval]=fminunc(‘tvsell’,x0,options)function[y,g]=tvsell_b(x)y=-(339-0.01*x(1)-0.003*x(2))*x(1)-(399-0.004*x(1)-0.01*x(2))*x(2)+(4
